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expressão algebrica

Expressão algébrica

Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números, são também denominadas expressões literais. As letras constituem a parte variável das expressões, pois elas podem assumir qualquer valor numérico. No passado as letras foram pouco utilizadas na representação de números desconhecidos, atualmente as letras associadas a números constituem a base da álgebra e contribui de forma eficiente na resolução de várias situações matemáticas. Veja alguns exemplos de expressões algébricas:


2x – 5
3a + 2y
x² + 7x
5 + x – (5x – 2)
10y – 10x
a² – 2ab + b²

As expressões algébricas podem ser utilizadas para representar situações problemas, como as propostas a seguir:

1 – Determine a expressão que representa o perímetro das seguintes figuras:
Perímetro: soma dos lados de qualquer polígono.

                         

4x + 1 + 2x + 4x + 1 + 2x
12x + 2
            

           

2x + 6 + 3x – 2 + x + 8
6x + 12


2 – O dobro de um número adicionado a 20: 2x + 20

3 – A diferença entre x e y: x – y

4 – O triplo de um número qualquer subtraído do quádruplo do número: 3x – 4x

5 – Represente algebricamente a área do retângulo a seguir:

 

                   

2x * (3x+5)
6x² + 10x

 

 

O uso das expressões algébricas

No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.

Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.

Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressões do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.

Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expressão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T.

As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.

Expressão algébrica

Objeto matemático

Figura

A = b x h

Área do retângulo

 

A = b x h / 2

Área do triângulo

 

P = 4 a

Perímetro do quadrado

 

 

Elementos históricos

Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.c), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abaci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos.

O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567),e pelo matemático italiano Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico.

 

Expressões Numéricas

São expressões matemáticas que envolvem operações com números. Por exemplo:

a = 7+5+4

b = 5+20-87

c = (6+8)-10

d = (5×4)+15

 

Expressões algébricas

São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais. Por exemplo:

A = 2a+7b

B = (3c+4)-5

C = 23c+4

As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.

 

Prioridade das operações numa expressão algébrica

Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:

  1. Potenciação ou Radiciação
  2. Multiplicação ou Divisão
  3. Adição ou Subtração

Observações quanto à prioridade:

  1. Antes de cada uma das três operações citadas, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
  2. A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.
  3. Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.

Exemplos:

  1. Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim
  1. 2.    P = 2.5+10 = 10+10 = 20

Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:

A = 2.9 + 10 = 18 + 10 = 28

Se A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.

  1. Seja X=4A+2+B-7 e tomemos A=5 e B=7. Assim:
  1. 4.    X = 4.5+2+7-7 = 20+2-0 = 22

Se A=5 e B=7, o valor numérico de X=4A+2+B-7, muda para 22.

  1. Seja Y=18-C+9+D+8C, onde C= -2 e D=1. Então:
  1. 6.    Y = 18-(-2)+9+1+8(-2) = 18+2+9+1-16 = 30-16 = 14

Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.

Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.

 

Exemplos:

  1. Um triângulo eqüilátero possui os três lados com mesma medida. Calcular o perímetro de um triângulo equilátero cujo lado mede 5 cm, sabendo-se que o perímetro de um triangulo equilátero pode ser representado por uma expressão algébrica da forma: P=a+a+a=3a. Substituindo a=5cm nesta expressão, obtemos P=3×5cm=15cm.

 

  1. Para obter a área do quadrado cujo lado mede 7cm, devemos usar a expressão algébrica para a área do quadrado de lado L que é A=L×L=L². Assim, se L=7cm, então A=7×7=49cm².

Observação: Mudando o valor do lado para L=8cm, o valor da área mudará para A=8×8=64cm².

  1. Escreva expressões algébricas para representar o perímetro de cada uma das figuras abaixo:

 

  1. Se a letra y representa um número natural, escreva a expressão algébrica que representa cada um dos seguintes fatos:
    1. O dobro desse número.
    2. O sucessor desse número.
    3. O antecessor desse número (se existir).
    4. Um terço do número somado com seu sucessor.
  2. Como caso particular do exercício anterior, tome y=9 e calcule o valor numérico:
    1. do dobro de y
    2. do sucessor de y
    3. do antecessor de y
    4. da terça parte de y somado com o sucessor de y
  3. Calcular a área do trapézio ilustrado na figura, sabendo-se que esta área pode ser calculada pela expressão algébrica A=(B+b)×h/2, onde B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é a medida da altura.

 

 

Monômios e polinômios

São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na tabela:

Nome

No.termos

Exemplo

monômio

um

m(x,y) = 3 xy

binômio

dois

b(x,y) = 6 x²y - 7y

trinômio

três

f(x) = a x² + bx + c

polinômio

vários

p(x)=aoxn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an

 

Identificação das expressões algébricas

Com muita frequência, as expressões algébricas aparecem na forma:

3x²y

onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é importante identificá-las com nomes como:

p(x,y) = 3x²y

para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das variáveis x e y.

Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática.

 

Valor numérico de uma expressão algébrica identificada

É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.

Exemplo: Tomando p(x,y)=3x²y, então para x=7 e y=2 temos que:

p(7,2) = 3 × 7² × 2 = 294

Se alterarmos os valores de x e de y para x=-1 e y=5, teremos outro valor numérico:

p(-1,5) = 3 × (-1)² × 5 = 3 × 5 = 15

mas dependendo da mudança de x e de y, poderíamos ter o mesmo valor numérico que antes. Se x=-7 e y=2, teremos:

p(7,2) = 3 × (-7)² × 2 = 294

 

A regra dos sinais (multiplicação ou divisão)

(+1) x (+1) = +1     (+1) ÷ (+1) = +1

(+1) x (-1) = -1     (+1) ÷ (-1) = -1

(-1) x (+1) = -1     (-1) ÷ (+1) = -1

(-1) x (-1) = +1     (-1) ÷ (-1) = +1

Regras de potenciação

Para todos os números reais x e y diferentes de zero, e, m e n números inteiros, tem-se que:

Propriedades

Alguns exemplos

xº=1 (x não nulo)

5º = 1

xm xn = xm+n

5².54 = 56

xm ym = (xy)m

5² 3² = 15²

xm ÷ xn = xm-n

520 ÷ 54 = 516

xm ÷ ym = (x/y)m

5² ÷ 3² = (5/3)²

(xm)n = xmn

(53)² = 125² = 15625 = 56

xm÷n = (xm)1/n

53÷2 = (53)1/2 = 1251/2

x-m = 1 ÷ xm

5-3 = 1 ÷ 53 = 1/125

x-m/n = 1 ÷ (xm)1/n

5-3/2 = 1 ÷ (53)1/2= 1 ÷ (125)1/2

 

Eliminação de parênteses em Monômios

Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da regra dos sinais. Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal +, o sinal é o positivo.

Exemplos:

A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x

B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x =   3x

C = +(4x)+(-7x) =  4x-7x = - 3x

D = +(4x)+(+7x) =  4x+7x =  11x

Operações com expressões algébricas de Monômios

  1. Adição ou Subtração de Monômios

Para somar ou subtrair de monômios, devemos primeiramente eliminar os parênteses e depois realizar as operações.

Exemplos:

    1. A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x
    2. B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = 3x
    3. C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = -3x
    4. D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x = 11x
  1. Multiplicação de Monômios

Para multiplicar monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

    1. A = -(4x²y).(-2xy) = +8x³y²
    2. B = -(4x²y).(+2xy) = -8x³y²
    3. C = +(4x²y).(-2xy) = -8x³y²
    4. D = +(4x²y).(+2xy) = +8x³y²
  1. Divisão de Monômios

Para dividir monômios, deve-se primeiramente dividir os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, dividir as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

    1. A = -(4x²y)÷(-2xy) = 2x
    2. B = -(4x²y)÷(+2xy) = -2x
    3. C = +(4x²y)÷(-2xy) = -2x
    4. D = +(4x²y)÷(+2xy) = 2x
  1. Potenciação de Monômios

Para realizar a potenciação de um monômio, deve-se primeiramente realizar a potenciação do valor numérico levando em consideração o sinal, tomar as potências literais e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

    1. A =(+4x²y)³= 4³ x²y x²y ²y = 256 x6 y³
    2. B =(-4x²y)³ = -4³x²y x²y x²y = -256x6 y³

 

Alguns Produtos notáveis

No link Produtos Notáveis, existem outros trinta (30) produtos notáveis importantes.

  1. Quadrado da soma de dois termos

Sabemos que x²=x.x, y²=y.y, mas não é verdade que

x² + y² = (x+y)²

a menos que um dos dois termos seja nulo. Este é um erro muito comum, mas o correto é:

(x+y)² = x² + 2xy + y²

Isto significa que o quadrado da soma de dois números sem sempre é igual à soma dos quadrados desses números.

Existe um algoritmo matemático que permite obter o quadrado da soma de x e y, e este algoritmo é semelhante àquele que permite obter o quadrado de um número com dois dígitos. Por exemplo, o número 13 pode ser decomposto em 10+3:

    x+y

    x+y  

  +xy+y²

x²+xy    

x²+2xy+y²

Compare
as duas
operações

    10+3

    10-3   

   +10.3+3²

10²+10.3   

10²+2.10.3+3²

Assim temos que o quadrado da soma de dois termos x e y, é a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo:

(x+y)² = x² + 2xy + y²

Exemplos:

(x+8)² = x²+2.x.8+8² = x²+16x+64

(3k+y)² = (3k)²+2.3k.y+y² = 9k²+6ky+y²

(1+x/5)² = 1+ 2x/5 +x²/25

Exercícios: Desenvolver as expressões:

(a+8)² =

(4y+2)² =

(9k/8 +3)² =

Pensando um pouco:

    1. Se (x+7)²=x²+[  ]+49, qual é o termo que deve ser colocado no lugar de [  ]?
    2. Se (5a+[   ])² = 25a²+30a+[  ], quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [  ]?
    3. Se ([   ]+9)² = x²+[  ]+81, quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [  ]?
    4. Se (4b+[   ])² = l6b²+36b+[  ], substitua os [  ] por algo coerente.
    5. Se (c+8)²=c²+[  ]+[  ], substitua os [  ] por algo coerente.
  1. Quadrado da diferença de dois termos

Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo:

(x-y)² = x² - 2xy + y²

 

Exemplos:

(x-4)² = x²-2.x.4+4² = x²-8x+16

(9-k)² = 9²-2.9.k+k² = 81-18k+k²

(2/y -x)² = (2/y)²-2.(2/y).x+x²

Exercícios: Complete o que falta.

(5x-9)² =[             ]

(k-6s)² =[              ]

(p-[ ])² = p²-10p+[ ]

  1. Produto da soma pela diferença de dois termos

Vamos utilizar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos.

    x+y

    x-y 

  -xy-y²

x²+xy   

x²   -y²

Compare
as duas
operações

    10+3

    10-3   

   -10.3-3²

10²+10.3   

10²  -  3²

Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao quadrado de x menos o quadrado de y.

(x+y)(x-y) = x² - y²

Exemplos:

(x+2)(x-2) = x²-2x+2x-4 = x²-4

(g-8)(g+8) = g²-8g+8g-64 = g²-64

(k-20)(k+20) = k²-400

(9-z)(9+z) = 81-z²

Exercícios: Complete as expressões:

(6-m)(6+m) =

(b+6)(b-6) =

(6+b)(b-6) =

(6+b)(6-b) =

(100-u)(100+u) =

(u-100)(100+u) =

 

EXERCÍCIOS

1)      Reduza os termos semelhantes nas seguintes expressões algébricas:

a)      6x +  (2x – 4) – 2=  (R: 8x -6)
b)      7y -8 – (5y – 3) = (R: 2y -5)
c)       4x – ( -3X + 9 – 2X) = ( R: 9x – 9)
d)      3x – (-2x + 5) – 8x + 9 = (R: -3x + 4)
e)      4x – 3 + (2x + 1) = (R: 6x -2)
f)       (x + y) – (x + 2y) = (R: -y)
g)      ( 3x – 2y) + (7x + y) = (R: 10x – 19)
h)      –(8a + 4 – ( 3a + 2)= (R: -11a -6)

2)      Reduza os termos semelhantes nas  seguintes expressões algébricas

a)      5a + (3a -2) – (10a – 8) = (R: -2a + 6)
b)      6x + (5x -7) – (20 + 3x )= (R: 8x -27)
c)       (x + y + z) + x – (3y + z) = ( R: 2x – 2y)
d)      (m + 2n ) – ( r – 2n) – ( n+ r) = (R: m + 3n – 2r)
e)      – (6y + 4x ) + ( 3y – 4x ) – (-2x + 3y) = (R: -6y – 6x)

3)       Reduza os termos semelhantes nas  seguintes expressões algébricas

a)      6x² - [ 4x² + (3x – 5) + x]=  (R: 2x²- 4x + 5)
b)      3X + { 2Y – [ 5X – (Y + X)]} = (R: -1x + 3y)
c)       – 3x + [ x² - ( 4x² - x ) + 5x] = (R: -3x² + 3x )
d)      Xy – [ 2x + (3xy – 4x ) + 7x] =  (R: 2xy – 5x)
e)      8a – [ ( a + 2m) – ( 3a – 3m)] = (R: 10a – 5m)
f)       a– (b – c) + [ 2a + (3b + c)] = (R: 3a + 2b + 2c)
g)      –[x + (7 – x) – (5 + 2x)] = (R: -2x -2)
h)      { 9x – [ 4x – (x – y)- 5y] + y}  = (R: 6x + 5y)
i)        (3a + 2m ) – [ ( a – 2m) – (6a + 2m)] = (R: 8a + 6m)
j)        7x³- { 3x² - x – [ 2x – { 5x³ - 6x² ) – 4x ]} =  (R: 2x³ + 3x²- 1x)
k)      2y – { 3y + [4y – (y – 2x) + 3x ] – 4x } + 2x =  (R: 11y – 4x)
l)        8y + { 4y – [ 6x – y- (4x – 3y) – y ] – 2x } = (R: 6x + 4y)
m)    4x – { 3x + [ 4x – 3y – (6x – 5y ) – 3x ] – 6y}
n)      3x – { 3x – [3x – (3x –y) – y ] – y} - y

 

4)      Reduza os termos semelhantes das expressões  algébricas

a)      -2n – (n – 8) + 1 =  (R: -3n + 9)
b)      5 – ( 2A – 5 ) + a = (R: -a + 10)
c)       3x + ( -4 – 6x) + 9 = (R:  -3x + 5)
d)      8y – 8 – ( -3y + 5) =  (R: 11y – 13)
e)      a – [ n + ( a + 3) ] = (R: -n -3)
f)       5 + [ x – (3 – x)] = (R: 2x + 2)
g)      x² - [ x – (5 - x²)] = (R: -x + 5)
h)      5x – y – [ x – ( x – y)] = (R: 5x – 2y)

5)      Reduza os termos semelhantes das expressões  algébricas

a)      2x + ( 2x + y) – (3x – y) + 9x = (R: 10x + 2y)
b)      5a – { 5a – [ 5a – (5a – m) – m] – m } – m = (R: 0)
c)       – { 7a – m – [ 4m – (n – m + 3a) – 4a] + n } = (R : -14a + 6m – 2n)
d)      5xy – { - ( 2xy + 5x) + [ 3Y – (-XY + X + 3XY)]} = (R: 9Xy + 6X -3Y)
e)      – {x – 2y + y – [ 3x + 5xy + 6y – (x –y) + 8 ]} = (R: x + 8y + 5xy + 8)

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