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FRAÇÕES

FRAÇÃO

Aprenda a utilizar a fração.

Fração é a representação da parte de um todo (de um ou mais inteiros), assim, podemos considerá-la como sendo mais uma representação de quantidade, ou seja, uma representação numérica, com ela podemos efetuar todas as operações como: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação.

Dessa forma, toda fração pode ser representada em uma reta numerada, por exemplo, 1/2 (um meio) significa que de um inteiro foi considerada apenas a sua metade, portanto, podemos dizer que em uma reta numerada a fração 1/2 estará entre os números inteiros 0 e 1.

Por ser uma forma diferente de representação numérica, a fração irá possui uma nomenclatura específica e poderá ser escrita em forma de porcentagem, números decimais (números com vírgula) e números mistos.

Assim, podemos concluir que o surgimento do número fracionário veio da necessidade de representar quantidades menores que inteiros, por exemplo, 1 bolo é um inteiro, mas se comermos um pedaço, qual seria a representação numérica que esse pedaço e o resto do bolo representaria? Foi a necessidade de criar uma representação numérica para as partes de um inteiro que proporcionou o surgimento dos números fracionários que iremos estudar nesta seção.

Adição e subtração de fração

As operações de adição e subtração com fração dependem unicamente do denominador, ou seja, dependem da quantidade de partes que um inteiro foi dividido. Podendo ser iguais ou diferentes, assim diferenciando a resolução.

Quando os denominadores forem iguais devemos somar ou diminuir as partes consideradas do inteiro (numeradores) e conservar as partes que o inteiro foi dividido (denominadores).

1/5 + 2/5 = 3/5, pois somamos os numeradores 1 + 2 e conservamos o denominador 5.

3/4 + 2/4 = 5/4, pois somamos os numeradores 3 + 2 e conservamos o denominador 4.

2/5 – 1/5 = 1/5, pois subtraímos os numeradores 2 -1 e conservamos o denominador 5.

Quando os denominadores forem diferentes é preciso torná-los iguais antes de resolver a operação de adição ou subtração, utilizando as técnicas que a redução de uma fração ao mesmo denominadoroferece.

Para resolver 1/5 + 2/10 é preciso que encontremos o mmc de 5 e 10 (os denominadores diferentes das frações) que será o próprio 10. Encontrando assim as respectivas frações equivalentes 2/10 e 2/10. Com essas frações efetuamos a soma:

2/10 + 2/10 = 4/10, portanto 1/5 + 2/10 = 4/10.

Na operação de subtração o processo é o mesmo, só irá diferenciar-se ao operar.

Comparação de Fração

As frações possuem o objetivo de representar partes de um inteiro através de situações geométricas ou numéricas. Podemos comparar frações utilizando a representação numérica através de algumas técnicas e propriedades. Comparar significa analisar qual representa a maior ou menor quantidade ou se elas são iguais.

1º situação

Quando os denominadores são iguais, basta compararmos somente o valor dos numeradores. Observe a comparação entre as frações  .
Note que os denominadores são iguais, dessa forma, vamos comparar os numeradores:
4 > 2 (quatro é maior que dois), então   .

Veja outra comparação envolvendo as frações  .
Os denominadores também são iguais, assim basta identificarmos qual dos numeradores é maior. Percebemos que 15 é maior que 7 (15 > 7), portanto  .

2ª situação

Quando os denominadores são diferentes, devemos realizar operações no intuito dos denominadores se tornarem iguais. Quando eles se tornam iguais aplicamos as definições da 1ª situação. O processo que irá transformar os denominadores em valores iguais é chamado de redução e consiste em descobrir um número pelo qual iremos multiplicar os membros de uma fração para que os denominadores assumam o mesmo valor. Observe:

As frações dadas possuem denominador 6 e 3, respectivamente. Vamos multiplicar os membros da 1ª equação por 3 e multiplicar os membros da 2ª equação por 6. Veja:

Note que , portanto .

Observe que multiplicamos os membros da 1ª equação pelo denominador da 2ª equação e os membros da 2ª equação pelo denominador da 1ª equação.

Veja mais um exemplo:

Vamos comparar as frações .

Vamos aplicar as reduções nas frações utilizando a regra prática já enunciada.

Observe que , dessa forma temos que .

Divisão com frações

A resolução da operação de divisão envolvendo frações depende de algumas informações importantes, como:

• A divisão de dois números inteiros pode ter seu quociente (resultado da divisão) representado na forma de fração, desde que o divisor seja diferente de zero. Exemplo: a divisão dos números 10:13, pode ter seu quociente representado na forma de fração, assim: .

• Ao efetuarmos a expressão: 45: (5x3) podemos resolvê-la da seguinte forma:

45 : (5x3) = 45:5:3

Resolvendo pela ordem das operações teremos:

45:(5x3) = 45:5:3 = 9:3 = 3.

Com base nessas duas informações veja como podemos chegar ao quociente de uma divisão de duas frações.

Considere a divisão , observe cada passo tomado para a sua resolução.

A fração pode ser representada pela operação da multiplicação da seguinte forma:

3 = 1 x 3
4 4

Assim escrevemos:

A divisão , pode ser resolvida da seguinte forma:

Representamos em um mesmo inteiro as duas frações e percebemos que:

A fração 1/4 cabe duas vezes na fração 1/2, portanto, podemos dizer que:

Substituindo na expressão temos:

Dessa forma, a divisão

Como base nessa demonstração podemos concluir que:

, que simplificado é igual a 2/3, dessa forma, podemos deduzir a seguinte
definição para encontramos o quociente de uma divisão com fração:
O quociente de duas frações é o produto da primeira pelo inverso da segunda.

Fração e as Operações Matemáticas

As frações pertencem ao conjunto dos números racionais e o uso delas está presente em diversas situações matemáticas. Em algumas sentenças envolvendo frações é preciso o conhecimento adequado de técnicas de resolução como adicionar, subtrair, multiplicar, dividir e cálculo de potências. Vamos demonstrar a resolução de algumas expressões seguida de comentários.

Exemplo 1

Reduzir os denominadores ao mesmo valor através do mmc e da proporcionalidade.

Realizar as operações dentro de todos os parênteses

Multiplicar os parênteses

Realizar a simplificação

Exemplo 2

No 1º parênteses, igualar os denominadores e no 2º, aplicar a potenciação

Multiplicar os parênteses

Exemplo 3

1º passo: redução dos denominadores ao mesmo valor.
2º passo: operação entre os numeradores de cada fração.
3º passo: divisão de frações.
4º passo: propriedade da divisão de frações → repete a 1ª fração e multiplica pelo inverso da 2ª.
5º passo: simplificação de frações.

Exemplo 4

Fração e Porcentagem

As frações são utilizadas para representar partes de um todo, de alguma coisa. A origem das frações está relacionada à necessidade de se representar, numericamente, valores não inteiros, menores que 1. Com as frações podemos realizar operações de adição, multiplicação, subtração e divisão. Toda fração é considerada um elemento do conjunto dos números racionais, que é representado pela letra Q.

A palavra porcentagem apresenta ligações estreitas com a ideia de fração, uma vez que significa partes de 100. Ora, se é parte de um todo então é uma fração. Vamos compreender melhor a relação entre porcentagem e as frações.

Definição de porcentagem:

Se x é um número real, então x% representa a fração x/100.

Isso significa que:

Como a porcentagem pode ser escrita na forma de fração, podemos realizar facilmente cálculos que envolvam essas ideias. Veremos alguns exemplos de como isso pode ser feito.

Exemplo 1. Sabe-se que 55% dos estudantes de uma sala são do sexo feminino. Como na classe há 40 estudantes, quantas meninas há nessa sala?

Solução: Vamos fazer uma interpretação simples do problema. Foi dito que:

55% dos alunos são do sexo feminino. Ou seja:

Número de meninas = 55% de 40

Nesse tipo de problema, a palavra “de” representa a operação de multiplicação.

Assim, teremos:

55% de 40=55% ∙40

Dessa forma não é possível realizar o cálculo. Devemos, então, escrever a porcentagem na forma de fração.

Assim, podemos afirmar que nessa sala há 22 alunos do sexo feminino.

Exemplo 2. Calcule:

a) 36% de 125
Solução:

b) 42% de 80
Solução:

c) 70% de 200
Solução:

d) 99% de 52
Solução:

Para facilitar os cálculos, as frações que representam a porcentagem podem ser simplificadas. Veja:

Além disso, podemos escrever a porcentagem na forma decimal, também a fim de facilitar os cálculos na resolução de problemas.

Fração Equivalente

Frações diferentes que expressam quantidades iguais

Dizemos que uma fração é uma parte de um inteiro que pode ser representada geometricamente ou numericamente. Podemos dividir o inteiro em diversas partes, as quais representarão quantidades diferentes e outras que representarão uma mesma quantidade. No caso de frações diferentes que representam a mesma quantidade, damos o nome de frações equivalentes. A única condição para que existam frações equivalentes é que elas pertençam ao mesmo inteiro. Observe o retângulo a seguir, ele representa o inteiro:

Ao dividirmos ao meio, isto é, em duas partes, e destacarmos 1 parte, teremos a seguinte fração: .

Dividindo o mesmo inteiro em 4 partes e destacando 2, teremos a seguinte fração: .

Caso o inteiro seja dividido em 16 partes iguais e destacamos 8, a fração representará numericamente a seguinte parte geométrica:

As frações apresentadas são equivalentes, todas possuem representação numérica diferente, mas expressam quantidades iguais. Nesse caso, elas estão representando sempre a metade do inteiro. Observe as frações na forma geométrica e numérica:

Para indicarmos quando duas ou mais frações são equivalentes, utilizamos o símbolo ~ ou o símbolo da igualdade +.

Para identificarmos se duas ou mais frações são equivalentes, basta aplicarmos os princípios de simplificação conhecidos, isto é, dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número, reduzindo a fração à forma irredutível. Se as formas irredutíveis forem idênticas, dizemos que as frações são equivalentes. Veja exemplos:

Verifique que as frações ao serem reduzidas à forma irredutível se tornaram idênticas, portanto, elas são equivalentes.

Multiplicação com Fração

A multiplicação é uma operação básica que surge para simplificar a soma de parcelas iguais. Por exemplo, a adição 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2, pode ser escrita através da multiplicação 2 * 9, que corresponde a 18. A operação da multiplicação é aplicada a qualquer conjunto numérico, dos Naturais aos Reais. No caso dos racionais, principalmente os números fracionários, a multiplicação deve ser utilizada respeitando algumas regras básicas, como multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador.

Na multiplicação de números fracionários, é valido o jogo de sinal entre os fatores. Observe tabela de jogo de sinais:

(+) * (+) = (+)
(+) * (–) = (–)
(–) * (+) = (–)
(–) * (–) = (+)

Os exemplos a seguir demonstrarão passo a passo o andamento de uma multiplicação envolvendo números racionais na forma fracionária.

Exemplos:

Caso seja necessário, os produtos apresentados e que constituem frações, podem ser escritos de forma mais simples, isto é, na forma de fração irredutível. Para tal procedimento utilizamos a simplificação de frações, que é feita encontrando o maior divisor comum ao numerador e ao denominador. Veja exemplos de simplificação:

Nomenclatura de fração

As frações possuem dois tipos de representação, uma geométrica (desenho) e outra na forma de expressão matemática. É importante lembrar que fração é uma representação da parte de um todo.
Para termos uma representação fracionária devemos primeiramente constituir todo o inteiro.
A figura a seguir representa um inteiro. Podemos dividir a pizza em várias partes.

A pizza foi dividida em oito partes iguais, cada parte irá representar uma fração de acordo com o inteiro. Se retirarmos um pedaço, ele corresponderá a um oitavo do inteiro.

Toda fração na forma de expressão matemática é representada de acordo com uma regra geral, seus termos recebem nomes: numerador e denominador. O numerador tem o objetivo de representar determinada parte do inteiro. O denominador representa a quantidade de partes que o inteiro foi dividido. O numerador e o denominador são separados por uma barra, que também tem a finalidade de expressar a operação da divisão.

Podemos representar as partes da pizza dividida da seguinte maneira:

Sabendo que uma fração deve ser representada por um numerador e um denominador, fica fácil compreendermos a sua nomenclatura. A leitura de uma fração irá depender do seu denominador.

A nomenclatura de uma fração pode ser dividida em dois grupos:
- o primeiro compreende os denominadores iguais a 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 100, 1000.
- o segundo compreende os denominadores que não pertencem ao primeiro grupo, como 12, 20, 51.

Para denominadores iguais a 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 100, 1000, a leitura das frações fica da seguinte forma:

Segundo grupo: considerando que o denominador seja qualquer outro número, acrescentamos na sua leitura a palavra “avos”.

Número misto

Toda fração imprópria pode ser escrita na forma de número misto. Esse tipo de número é formado por uma ou mais partes inteiras mais uma parte fracionária.

Considere a seguinte fração imprópria . A sua representação em forma de desenho será:

Vamos considerar como sendo um inteiro a seguinte circunferência:

Para representarmos a fração será preciso dividir o inteiro (a circunferência) em 2 partes iguais e considerar 5 partes, como 2 < 5, termos que construir mais de um inteiro, veja:

Assim, podemos dizer que . Portanto, o número é a representação mista da fração imprópria .

Seguindo esse mesmo raciocínio podemos transformar um número misto em fração imprópria e fração imprópria em número misto. Veja algumas regras práticas que facilitam essas transformações:

Primeiro apresentaremos a transformação de fração imprópria em número misto.

Dada a fração imprópria , para representarmos em forma mista teremos que efetuar a seguinte divisão: 15 : 7

Os elementos que compõem uma divisão são nomeados da seguinte forma:

Assim, podemos dizer que na divisão de 15 : 7, o 15 é o dividendo, 7 é o divisor, 1 é o resto e 2 é o quociente.

Utilizando esses elementos da divisão, formaremos o número misto que representará a fração imprópria . O valor que representar o quociente será a parte inteira, o valor que representar o resto será o numerador e o valor que representar o divisor será o denominador, assim temos = .

Agora veremos o inverso: como transformar número misto em fração imprópria.

Dada o número misto , para transformá-lo em fração imprópria teremos que seguir a regra: repetir o denominador e multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o produto com o numerador, veja:

Assim, o número misto terá como fração imprópria .

Potenciação de Frações Algébricas

A potenciação de frações algébricas utiliza o mesmo processo das frações numéricas, o expoente precisa ser aplicado ao numerador e ao denominador, considerando o valor do denominador diferente de zero. Após o desenvolvimento da potenciação, se for o caso, simplifique a fração, pois dividindo seus elementos pelo mesmo número, isto é, pelo divisor comum ao numerador e ao divisor. Observe alguns exemplos:

Frações Numéricas

Frações Algébricas

Nos casos em que o expoente possui sinal negativo, devemos inverter a base e trocar o sinal do expoente para positivo. Feito esse processo, basta aplicar o expoente ao numerador e ao denominador. Observe:

Algumas situações exigem maior complexidade nos cálculos, utilizando as propriedades estudadas como soma de frações com denominadores diferentes, mmc de polinômios, expoente negativo, divisão de frações, multiplicação de frações, potenciação e simplificação de termos semelhantes. Veja:

Problemas envolvendo números fracionários

A maneira como resolvemos uma situação problema é sempre a mesma, o que pode ser diferente é a estratégia de resolução, pois cada uma delas envolve um conteúdo diferente.

Levando em consideração os problemas matemáticos que envolvem números fracionários, podemos utilizar como estratégia na sua resolução a construção de figuras que representem os inteiros ou partes deles (fração).

Veja o exemplo de situação problema envolvendo números fracionários.

Uma piscina retangular ocupa 2/15 de uma área de lazer de 300 m². A parte restante da área de lazer equivale a quantos metros quadrados?

Resolução:

Considere o retângulo abaixo como sendo a área de lazer completa.

Para representarmos 2/15 (área ocupada pela piscina) na região retangular que está representando a área de lazer, basta dividir esse retângulo em 15 partes iguais e considerar apenas duas como sendo ocupadas pela piscina.

Foi dito no enunciado que a área total é de 300m², portanto, a área que a piscina ocupa será de:

2 de 300 = 300:15 x2 = 40m². Dessa forma, cada 1/15 do terreno corresponde a 20m².
15

Observando a figura acima percebemos que a fração que irá corresponder à parte restante da área de lazer é 13/15, dessa forma, para descobrirmos quanto isso representa em metros quadrados basta multiplicar 20 por 13 que será igual a 260m² de área restante.

Redução de fração ao mesmo denominador

Podemos transformar duas frações que representam quantidades diferentes de um mesmo inteiro, por exemplo, 1/2 e 2/5 em frações com denominadores iguais. Esse processo é conhecido como redução de fração ao mesmo denominador.

Para reduzir as frações 1/2 e 2/5 ao mesmo denominador devemos encontrar as frações equivalentes a cada uma delas, ou seja, frações diferentes, mas que representam a mesma quantidade.

1/2 é o mesmo que a metade de um inteiro, pois dividimos o inteiro em 2 partes iguais e consideramos 1, portanto é possível dividir esse mesmo inteiro em partes diferentes e continuar considerando a metade do inteiro, veja:

Todas essas frações 2/4, 3/6, 4/8 e 5/10 são equivalentes a 1/2, pois representa a mesma quantidade.

Se pegarmos esse mesmo inteiro utilizado acima e encontrarmos frações equivalentes a 2/5, teremos:

Como as frações equivalentes a 1/2 e 2/5 foram encontradas levando em consideração o mesmo inteiro, podemos dizer que as frações 1/2 e 2/5 transformadas em um mesmo denominador ficariam respectivamente iguais a 5/10 e 4/10.

Uma maneira mais prática de reduzir as frações ao mesmo denominador é encontrar o mínimo múltiplo comum (menor múltiplo comum) dos números que representam os denominadores, por exemplo:

As frações 3/20 e 5/6 possuem os números 20 e 6 como denominadores e o menor múltiplo comum (mmc) entre eles é 60. Assim, o denominador comum das frações 3/20 e 5/6 será 60.

Depois de encontrar o “novo denominador” temos que dividi-lo pelo “antigo” e multiplicar o resultado pelo numerador, devemos fazer sempre esse processo, pois se mudamos o denominador temos que encontrar um numerador proporcional. Veja como é feito:

Simplificação de Fração

Simplificar uma fração consiste em reduzir o numerador e o denominador através da divisão pelo máximo divisor comum aos dois números. Uma fração está totalmente simplificada quando verificamos que seus termos estão totalmente reduzidos a números que não possuem termos divisíveis entre si. Uma fração simplificada sofre alteração do numerador e do denominador, mas seu valor matemático não é alterado, pois a fração quando tem seus termos reduzidos se torna uma fração equivalente.

A fração possui as seguintes frações equivalentes: . Elas são formadas por elementos diferentes, mas todas possuem o mesmo valor proporcional. Nesse exemplo, temos que a fração é a fração irredutível de .

Simplificar uma fração consiste em dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número. Você pode simplificar uma fração por partes, veja:

Ou você pode simplificar a fração uma única vez. Para isso, você deve identificar o máximo divisor comum aos dois termos. Observe:

O máximo divisor comum aos números 24 e 36 é o 12. Então, simplificamos da seguinte maneira:

Observe mais alguns exemplos de simplificação.

O MDC entre 32 e 40 é 8.

O MDC entre 63 e 81 é 9.

O MDC entre 90 e 120 é 30.

O MDC entre 36 e 66 é 6.

Portanto, para que uma fração se torne irredutível, devemos dividir o numerador e o denominador pelo maior divisor comum ou realizar a simplificação por partes. Lembre-se de que toda fração irredutível possui inúmeras frações equivalentes.

Tipo de fração

Fração não é necessariamente a parte que tiramos de um inteiro, ela pode ser partes de um inteiro completo, dois inteiros completos, um inteiro mais uma parte, e assim sucessivamente. Levando em consideração todas as formas possíveis de encontrarmos uma fração podemos classificá-las em: próprias, impróprias ou aparentes.

Fração própria

Toda fração que for considerada própria deverá ser menor que um inteiro, ou seja, seu numerador é menor que seu denominador.

Considerando o inteiro dividido em 8 parte iguais . Se colorirmos 5 partes desse inteiro teremos:

A fração que irá representar a parte colorida é e a fração que irá representar a parte que não foi colorida é . As duas frações são classificadas como próprias, pois são menores que um inteiro.

Uma maneira prática de perceber se uma fração é ou não própria é observar o numerador e o denominador, portanto é própria, pois 5 (numerador) < 8 (denominador).

Fração imprópria

As frações impróprias são maiores que um inteiro, ou seja, o seu numerador é maior que o denominador.

A fração é uma fração imprópria, pois 5 (numerador) > 3 (denominador), veja como representaríamos:
significa que repartimos um inteiro em três partes e consideramos 5. Como 5 > 3, temos que construir mais um inteiro idêntico ao outro e completar a fração.

1 inteiro mais 2/3 é igual a

Fração aparente

Fração aparente é um tipo de fração imprópria, sendo que os numeradores são múltiplos dos denominadores, ou seja, ao dividirmos o numerador pelo denominador iremos obter valor inteiro como resposta.

A fração representa dois inteiros completos, pois 6 : 3 = 2, assim considerada aparente. Veja a sua representação:

2 inteiros são iguais a .

EXERCÍCIOS

01) (SEAP1101/001-AuxiliarEnfermagem-V1 2011) – Um auxiliar de enfermagem deve trabalhar 30 horas semanais. Devido a um acúmulo de serviço na semana passada, ele precisou fazer 12 horas extras. A fração que corresponde a quanto ele trabalhou a mais do que o previsto é

(A) 1/4.

(B) 1/5.

(D) 2/3.

(E) 1/3

02) (CASA1201/001-AgApoioOper-SexoMasc – 2013) – De um total de 180 candidatos, 2/5 estudam inglês, 2/9 estudam francês, 1/3 estuda espanhol e o restante estuda alemão. O número de candidatos que estuda alemão é:

(A) 6.

(B) 7.

(D) 9.

(E) 10.

03) (CTSB1201/004-Escriturário – 2013) – Bia comprou um pacote de biscoitos e comeu 1/7 do total. Em seguida, sua amiga, Cris, comeu 1/6 do que ainda havia no pacote e Marcos comeu a metade do havia ficado, restando, ainda, no pacote, 15 biscoitos. O total de biscoitos desse pacote era

(A) 49.

(B) 42.

(D) 32.

(E) 28.

04) (FCC – 2012) – Um atleta, participando de uma prova de triatlo, percorreu 120 km da seguinte maneira: 1/10 em corrida, 7/10 de bicicleta e o restante a nado. Esse atleta, para completar a prova, teve de nadar

(A) 18 km.

(B) 20 km.

(D) 26 km.

05) (VNSP1301/001-AgVigRecepção – 2013) – Antônio e Pedro compraram uma caixa de esfihas e consumiram, respectivamente, 2/5 e 1/3 do total de esfihas da caixa. Pouco depois, encontraram Carlos, que comeu 3/4 do que havia restado, ficando ainda duas esfihas na caixa. O total de esfihas contidas na caixa comprada por Antônio e Pedro era

(A) 30.

(B) 38.

(D) 55.

(E)60.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01 – Com 12 litros de leite, quantas garrafas de 2/3 de litros poderão ser cheias ?

02 – Coriolano faz um cinto com 3/5 de um metro de couro. Quantos cintos poderão ser feitos com 18 metros de couro ?

03 – Qual é o número cujos 4/5 equivalem a 108 ?

04 – Distribuíram-se 3 1/2 quilogramas de bombons entre vários meninos. Cada um recebeu 1/4 de quilograma. Quantos eram os meninos ?

05 – Para ladrilhar 2/3 de um pátio empregaram-se 5 456 ladrilhos. Para ladrilhar 5/8 do mesmo pátio, quantos ladrilhos seriam necessários ?

06 – Dona Solange pagou R$ 5.960,00 por 4/7 de um terreno. Quanto pagaria por 4/5 desse terreno?

07 – Luciano fez uma viagem de 1.210 km, sendo 7/11 de aeroplano; 2/5 do resto, de trem, 3/8 do novo resto, de automóvel e os demais quilômetros, a cavalo. Calcular quantos quilômetros percorreu a cavalo ?

08 – A terça parte de um número adicionado a seus 3/5 é igual a 28. Calcule a metade desse número ?

09 – Carolina tinha R$ 175,00. Gastou 1/7 de 1/5 dessa importância. Quanto sobrou ?

10 – Que número é necessário somar a um e três quartos para se obter cinco e quatro sétimos ?

11 – A soma de dois números é 850. Um vale 12/5 do outro. Quais são eles ?

12 – Se dos 2/3 de um número subtrairmos seus 3/7, ficaremos com 45. Qual é o número?

13 – A soma de três números é 30. O primeiro corresponde aos 2/3 do segundo e este, aos 3/5 do terceiro. Calcular o produto destes três números.

14 – Se 7/8 de um terreno valem R$ 21.000,00, qual é o valor de 5/48 do mesmo terreno?

15 – Qual é o número que se da metade subtrairmos 8 unidades ficaremos com 1/3 dele mesmo ?

16 – Da terça parte de um número subtraindo-se 12, fica-se com 1/6 do mesmo número. Que número é esse ?

17 – Qual é o número que retirando 48 unidades de sua metade, encontramos a sua oitava parte ?

18 – A diferença entre dois números é 90; um é 3/13 do outro. Calcular os números.

19 – A soma de dois números é 345; um é 12/11 do outro. Calcule-os.

20 – Seu Áureo tendo gasto 4/7 do dinheiro que possuía, ficou com 1/3 dessa quantia mais R$ 164,00. Quanto tinha o velho Áureo?

GABARITO

01) 18 garrafas

02) 30 cintos

03) 135

04) 14 meninos

05) 5.115

06) R$ 8.344,00

07) 165 km

08) 15

09) R$ 170,00

10)

11) 600 e 250

12) 189

13) 810

14) R$ 2.500,00

15) 48

16) 72

17) 128

18) 117 e 27

19) 180 e 165

20) R$ 1.722,00