Polinômios

Na página sobre termos algébricos explicamos o que são monômios semelhantes e

em seguida tratamos a sua soma e subtração.

A adição ou subtração algébrica de monômios é denominada polinômio.

Vejamos alguns exemplos de polinômios:

No primeiro exemplo temos um polinômio de apenas um monômio. Os demais

possuem vários monômios, estes monômios são denominados termos do polinômio.

O segundo exemplo é um polinômio de dois termos: 3x³y e 2xy².

Grau de um Polinômio

O grau de um polinômio reduzido, não nulo, é o grau do seu termo de maior grau.

O polinômio -5x⁴ + 14x⁵y² - 7x³y² é do grau 7, pois o seu termo de maior grau é o

segundo, que é do grau 7.

O polinômio 4a²b³ + 5a⁵ é do grau 5, pois ambos os termos do polinômio são

deste grau.

Grau de um Polinômio em Relação a uma Certa Incógnita

Em relação à variável x o polinômio -5x⁴ + 14x⁵y² - 7x³y² é do grau 5, pois o termo de

maior grau nesta variável é do grau 5, que é o segundo termo.

Analisando o mesmo polinômio em relação à variável y, ele é do grau 2, já que tanto

no segundo, quanto no terceiro termo o grau nesta variável é dois.

O polinômio 4a²b³ + 5a⁵ é do grau 5 na variável a e do grau 3 em relação à variável b.

Redução de Termos Semelhantes

Assim como fizemos no caso dos monômios, também podemos fazer a redução

de polinômios através da adição algébrica dos seus termos semelhantes.

No exemplo abaixo realizamos a soma algébrica do primeiro com o terceiro termo, e

do segundo com o quarto termo, reduzindo um polinômio de quatro termos a um outro

de apenas dois.

Polinômios reduzidos de dois termos também são denominados binômios.

Polinômios reduzidos de três termos, também são denominados trinômios.

Veja abaixo alguns exemplos de redução de polinômios através da soma ou

subtração de termos semelhantes:

Multiplicação de Polinômios

Temos tanto o caso da multiplicação de um monômio por um polinômio, quanto o

caso da multiplicação de um polinômio por um polinômio.

Multiplicação de um Polinômio por um Monômio

No primeiro caso a multiplicação é realizada multiplicando-se o monômio por

cada um dos termos do polinômio.

Vejamos a multiplicação abaixo:

Repare que multiplicamos 7xy² por ambos os termos do polinômio, aplicamos

a propriedade distributiva da multiplicação.

Caso você ainda tenha dúvidas sobre como realizar a multiplicação de monômios,

faça um revisão antes de prosseguir neste tema.

Veja mais alguns exemplos:

Multiplicação de um Polinômio por um Polinômio

No caso da multiplicação de polinômio por polinômio efetuamos a multiplicação de

cada um dos termos do primeiro polinômio, por cada um dos termos do segundo

polinômio e depois realizamos a redução do polinômio resultante.

Vamos analisar a multiplicação abaixo a qual separamos em três linhas para

podermos observá-la mais facilmente:

Na primeira linha temos os dois polinômios a serem multiplicados.

Os dois primeiros produtos na segunda linha foram obtidos da multiplicação de 3a²b 

por cada um dos dois termos do segundo polinômio, 2a e 7a²b³.

Os dois últimos produtos na segunda linha foram obtidos multiplicando-se

agora o segundo termo do primeiro polinômio, também por cada um dos dois

termos do segundo.

A terceira linha que é o resultado final, já que não há termos semelhantes a

reduzir, é o resultado após a multiplicação dos monômios entre parênteses na

linha anterior.

Analise estes outros exemplos para uma melhor assimilação:

Para multiplicar mais de dois polinômios, comece multiplicando os dois primeiros,

depois multiplique o polinômio obtido pelo terceiro e assim por diante até multiplicar

por todos.

Para a multiplicar , por exemplo, primeiro multiplique

 , que como vimos acima é igual a , então multiplique 

 por .

Divisão de Polinômios

Como no caso da multiplicação, temos tanto a divisão de um polinômio por

um monômio,quanto a divisão de um polinômio por um polinômio. Vamos tratar

cada um dos casos individualmente.

Divisão de um Polinômio por um Monômio

Este é o caso mais simples, pois podemos fazê-lo dividindo cada um dos

monômios que formam o polinômio, pelo monômio em questão.

Vamos analisar a divisão do polinômio abaixo:

Note que desmembramos o polinômio em duas partes, dividindo tanto 

14x³y² por 7xy², quanto 7xy³.

Observe mais estes exemplos:

Divisão de um Polinômio por um Polinômio

Para realizarmos a divisão de polinômios é preciso que eles estejam reduzidos

e ordenados.

O conceito da redução de termos semelhantes foi visto acima, quanto à ordenação

de polinômios, dizemos que um polinômio está ordenado em relação à determinada

variável, quando o grau de todos os monômios que os compõe, em relação a esta

variável, estão ordenados de forma crescente ou decrescente.

O polinômio -5x⁴ + 6x⁵ - 7x³, não está ordenado em relação a variável x, já o polinômio 6x⁵ - 5x⁴ - 7x³ está ordenado de forma decrescente em relação a esta

variável. Observe que os expoentes desta incógnita decrescem de 5 a 3.

Para explicar o procedimento da divisão de polinômios pelo método das chaves,

vamos dividir 8a² - 2ab -15b² por2a - 3b.

A primeira coisa a verificar é se o grau do dividendo é maior ou igual ao grau

do divisor. Se for menor o quociente será zero e o resto será o próprio dividendo.

Repare que ambos os polinômios estão ordenados de forma decrescente em

relação à incógnita a:

A divisão de polinômios é muito semelhante à divisão de números naturais.

Vamos começar dividindo o monômio8a² pelo monômio 2a e colocar o quociente

 4a abaixo da chave:

Agora vamos multiplicar por -4a, o valor oposto do quociente, cada um dos

monômios do divisor 2a - 3b e colocar o resultado embaixo do dividendo:

Executamos então a soma dos monômios:

Continuamos a divisão baixando o terceiro monômio do dividendo:

Agora dividimos 10ab por 2a, que vai dar 5b e também o colocamos abaixo

da chave:

Multiplicamos por -5b, o valor oposto de 5b, cada um dos monômios do

divisor 2a - 3b e colocamos o resultado embaixo do primeiro resto parcial:

Por fim executamos a soma que resultará em zero, indicando uma divisão exata:

Como pudemos ver o procedimento da divisão de polinômios e bastante

simples e semelhante à divisão de números naturais.

Para fechar o tema vamos a um outro exemplo, só que desta vez veremos

uma divisão com um resto diferente de zero.

Vamos dividir 2x⁴ - 7x³ + 3x² por x - 2:

Dividimos o monômio 2x⁴ pelo monômio x, que resulta em 2x³ e o colocamos

abaixo da chave:

Agora vamos multiplicar por -2x³, o valor oposto do quociente, cada um dos

monômios do divisor x - 2 e colocar o resultado embaixo do dividendo:

Executamos a soma dos monômios:

Continuamos a divisão baixando o último monômio do dividendo:

Dividimos então -3x³ por x, que vai dar -3x² e o colocamos também abaixo

da chave:

Então Multiplicamos por 3x², que é o valor oposto de -3x², cada um dos

monômios do divisor x - 2 e colocamos o resultado embaixo do primeiro

resto parcial:

Como anteriormente, efetuamos a soma dos monômios:

Note que o resto -3x² é um polinômio de grau 2, que não é de grau inferior ao

grau do divisor, que é um polinômio de grau 1, então devemos continuar a divisão.

Dividimos -3x² por x e colocamos o resultado -3x abaixo da chave:

Multiplicamos por 3x, que é o simétrico de -3x, cada um dos monômios do

divisor x - 2 e botamos o resultado embaixo do segundo resto parcial:

Somamos então os monômios:

Como tanto -6x, quanto x - 2 são de grau 1, devemos continuar a divisão:

Dividimos então -6x por x, que vai dar -6 e também o inserimos abaixo da chave:

Multiplicamos por 6, que é o simétrico de -6, novamente cada um dos monômios

do divisor x - 2 e botamos o resultado embaixo do terceiro resto parcial:

Somamos mais uma vez os monômios:

Agora o grau do resto -12 é igual a 0 e, portanto, inferior ao grau do divisor

que é 1, então terminamos a divisão por aqui.

Se você realizar a multiplicação do quociente 2x³ - 3x² - 3x - 6 por x - 2 irá obter 2x⁴ - 7x³ + 3x² + 12 que somado a -12 resultará em 2x⁴ - 7x³ + 3x², exatamente

o dividendo original.

                                                EXERCÍCIOS 

1) Efetue as seguintes adições de polinômios:

a) (2x²-9x+2)+(3x²+7x-1) _______ (R:5x² -2x + 1)

b) (5x²+5x-8)+(-2x²+3x-2) ______ (R:3x² + 8x - 10)

c) (3x-6y+4)+(4x+2y-2) ________ (R:7x -4y +2)

d) (5x²-7x+2)+(2x²+7x-1) _______ (R:7x²+ 1)

e) (4x+3y+1)+(6x-2y-9) _________ (R:10x +1y-8)

f) (2x³+5x²+4x)+(2x³-3x²+x) _____ (R:4x³ +2x²+ 5x)

g) (5x²-2ax+a²)+(-3x²+2ax-a²) ____ (R: 2x²)

h) (y²+3y-5)+(-3y+7-5y²) ________ (R: -4y² + 2)

i) (x²-5x+3)+(-4x²-2x) __________ (R:-3x² - 7x + 3)

j) (9x²-4x-3)+(3x²-10) __________ (R:12x² -4x- 13)

2) Efetue as seguintes subtrações:

a) (5x²-4x+7)-(3x²+7x-1) _____ (R: 2x² - 11x + 8)

b) (6x²-6x+9)-(3x²+8x-2) _____ (R: 3x² - 14x + 11)

c) (7x-4y+2)-(2x-2y+5) _______ (R: 5x - 2y – 3)

d) (4x-y-1)-(9x+y+3) _________ (R: -5x – 2y – 4)

e) (-2a²-3ª+6)-(-4a²-5ª+6) _____ ( R: -2a² +2a)

f) (4x³-6x²+3x)-(7x³-6x²+8x) ___ (R: -3x³ - 5x)

g) (x²-5x+3)-(4x²+6) _________ (R: -3x² -5x -3)

h) (x²+2xy+y²)-(y²+x²+2xy) ____ (R: 0)

i) (7ab+4c-3a)-(5c+4a-10) ______ (R: 7ab -c-7a + 10)

3) Calcule os produtos

a) 3(x+y) ____ (R: 3x +3y)

b) 7(x-2y) ___ (R: 7x - 14y)

c) 2x(x+y) ___ (R: 2x² + 2xy)

d) 4x (a+b) ___ (R: 4xa + 4xb)

e) 2x(x²-2x+5) _ (R:2x³ - 4x² + 10x)

f) (x+5).(x+2) __ (R: x² +7x +10)

g) (3x+2).(2x+1) __ (R: 6x² +7x + 2)

h) (x+7).(x-4) ____ (R: x² +3x -28)

i) (3x+4).(2x-1) ___ (R: 6x² +5x -4)

j) (x-4y).(x-y) ____ (R: x² -5xy + 4y²)

k) (5x-2).(2x-1) ___ (R: 10x² -9x + 2)

l) (3x+1).(3x-1) ___ (R: 9x² - 1)

m) (2x+5).(2x-5) __ (R: 4x² - 25)

n) (6x²-4).(6x²+4) __ (R:

o) (3x²-4x-3).(x+1) __ (R: 3x³ - 1x² - 7x -3)

p) (x²-x-1).(x-3) _____ (R: x³ - 4x² + 2x + 3)

q) (x-1).(x-2).(x-3) ____ (R: x³ - 6x² - 3x - 9)

r) (x+2).(x-1).(x+3) ____ (R: x³ + 4x² + 3x + 1)

s) (x³-2).(x³+8) _______ (R:

t) (x²+2).(x²+6) _______ (R:

4) Efetue as divisões:

a) ( 12x² - 8x) : (+2x) =

b) (3y³ + 6y²) : (3y) =

c) ( 10x² + 6x) : (-2x) =

d) (4x³ - 9x) : (+3x) =

e) ( 15x³ - 10x²) : (5x²)=

f) (30x² - 20xy) : (-10x)=

g) (-18x² + 8x) : (+2x)=

h) (6x²y – 4xy²) : (-2x)=

5) Efetue as Divisões:

a) ( x³ + 2x² + x ) : (+x) =

b) (x² + x³ + x⁴) : (+x²) =

c) (3x⁴ - 6x³ + 10x²) : (-2x²) =

d) (x⁷ + x⁵ + x³) : (-x²) =

e) (3x²y – 18xy²) : (+3xy) =

f) (7x³y – 8x²y²) : (-2xy) =

g) (4x²y + 2xy – 6xy²) : (-2xy) =

h) (20x¹² - 16x⁸ - 8x⁵) : ( +4x⁴) =

i) (3xy⁴ + 9x²y – 12xy²) : (+3xy) =

6) Calcule os quocientes:

a) ( x² + 5x + 6) : (x + 2)=

b) (x² - 7x + 10 ) : ( x - 2)=

c) (2x² + 6x + 4 ) : ( x + 1)=

d) ( x³ - 6x² + 11x – 6) : ( x – 3)=

e) ( 7x³ + 27x² - 3x + 4 ) : ( x + 4)=

f) (2x³ + 3x² - x – 2) : ( 2x – 3)=

g) ( x³ - 6x² + 7x + 4) : (x² - 2x – 1)=

h) (3x³ - 13x² + 37x – 50 ) : ( x² -2x + 5)=

i) ( 10x³ - 31x² + 26x – 3) : ( 5x² - 8x + 1)=

j) ( 4x⁴ - 14x³ + 15x² -17x + 5 ) : (x² - 3x + 1)=