EQUAÇÃO DO 2° GRAU

Denomina-se equação do 2° grau, qualquer sentença matemática que possa ser reduzida à

formaax² + bx + c = 0, onde x é a incógnita e a, b e c são números reais,

com a ≠ 0. a, b e c são coeficientes da equação. Observe que o maior índice da incógnita na

equação é igual a dois e é isto que a define como sendo uma equação do segundo grau.

EQUAÇÃO COMPLETA E INCOMPLETA

Da definição acima temos obrigatoriamente que a ≠ 0, no entanto podemos ter b = 0 e/ou c = 0.Caso b ≠ 0 e c ≠ 0, temos uma equação do 2° grau completa.

A sentença matemática -2x² + 3x - 5 = 0 é um exemplo de equação do 2° grau completa, pois

temos b = 3 e c = -5, que são diferentes de zero.

-x² + 7 = 0 é um exemplo de equação do 2° grau incompleta, pois b = 0.

Neste outro exemplo, 3x² - 4x = 0 a equação é incompleta, pois c = 0.

Veja este último exemplo de equação do 2° grau incompleta, 8x² = 0, onde tanto b, quanto c são iguais a zero.

RESOLUÇÃO

A resolução de uma equação do segundo grau consiste em obtermos os possíveis valores reais para a incógnita, que torne a sentença matemática uma equação verdadeira. Tais valores são a raiz da equação

 FÓRMULA GERAL

Para a resolução de uma equação do segundo grau completa ou incompleta, podemos recorrer à fórmula geral de resolução:

Esta fórmula também é conhecida como fórmula de Bhaskara.

O valor b² -4ac é conhecido como discriminante da equação e é representado pela letra

grega Δ. Temos então que Δ = b² -4ac, o que nos permitir escrever a fórmula geral de resolução como:

RESOLUÇÃO INCOMPLETA

Para a resolução de equações incompletas podemos recorrer a certos artifícios. Vejamos:

Para o caso de apenas b = 0 temos:

Portanto para equações do tipo ax² + c = 0, onde b = 0, podemos utilizar a fórmula simplificada  para calcularmos as suas raízes. Observe no entanto que a equação só possuirá raízes no conjunto dos números reais se .Para o caso de apenas c = 0 temos:

 Portanto para equações do tipo ax² + bx = 0, onde c = 0, uma das raízes sempre será igual a

zero e a outra será dada pela fórmula .

Para o caso de b = 0 e c = 0 temos:

Podemos notar que ao contrário dos dois casos anteriores, neste caso temos apenas uma única raiz real, que será sempre igual a zero.                               

Discriminante da equação do 2° grau

O cálculo do valor do discriminante é muito importante, pois através deste valor podemos

determinar o número de raízes de uma equação do segundo grau.

Como visto acima, o discriminante é representado pela letra grega Δ e equivale à expressão b² - 4ac, isto é:Δ = b² - 4ac.

Discriminante menor que zero

Caso Δ < 0, a equação não tem raízes reais, pois :

Discriminante igual a zero

Caso Δ = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais, pois :

Discriminante maior que zero

Caso Δ > 0, a equação tem duas raízes reais e diferentes, pois :

Conjunto Verdade de equações do 2° grau

A partir do estudado acima, podemos esquematizar o conjunto verdade das equações do

segundo grau completas e incompletas como a seguir:

Para o caso das equações completas temos:

Para o caso das equações incompletas onde somente b = 0 temos:

Para o caso das equações incompletas onde somente c = 0 temos:

E no caso das equações incompletas onde tanto b = 0, quanto c = 0 temos:

Exemplo de resolução de uma equação do segundo grau

Encontre as raízes da equação: 2x² - 6x - 56 = 0

Aplicando a fórmula geral de resolução à equação temos:

Observe que temos duas raízes reais distintas, o que já era de se esperar, pois apuramos

para Δ o valor 484, que é maior que zero.

Logo:

As raízes da equação 2x² - 6x - 56 = 0 são: -4 e 7.                                

EXERCÍCIOS

1) RESOLVA AS SEGUINTES EQUAÇÕES

a) x² + 9 x + 8 = 0 (R:-1 e -8)

b) 9 x² - 24 x + 16 = 0 (R:4/3)

c) x² - 2 x + 4 = 0 (vazio)

d) 3 x² - 15 x + 12 = 0 (R: 1 e 4)

e) 10 x² + 72 x - 64 = 0 (R:-8 e 4/5)

e) 5x² - 3x - 2 = 0 (R: 1 e -2/5)

f) x² - 10x + 25 = 0 (R: 5)

g) x² - x - 20 = 0 (R: 5 e -4)

h) x² - 3x -4 = 0 (R: 4 e -1)

i) x² - 8x + 7 = 0 (R: 7 e 1)



2) RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU


1) x² - 5x + 6 = 0 _____(R:2,3)

2) x² - 8x + 12 = 0 ______(R:2,6)

3) x² + 2x - 8 = 0______ (R:2,-4)

4) x² - 5x + 8 = 0 ______(R:vazio)

5) 2x² - 8x + 8 = 0_______ (R:2,)

6) x² - 4x - 5 = 0_______ (R:-1, 5)

7) -x² + x + 12 = 0_______ (R:-3, 4)

8) -x² + 6x - 5 = 0_______ (R:1,5)

9) 6x² + x - 1 = 0______ (R:1/3 , -1/2)

10) 3x² - 7x + 2 = 0 ______(R:2, 1/3)

11) 2x² - 7x = 15 _______(R:5, -3/2)

12) 4x² + 9 = 12x______ (R:3/2)

13) x² = x + 12 ______(R:-3 , 4)

14) 2x² = -12x - 18 _____(R:-3 )

15) x² + 9 = 4x_____ (R: vazio)

16) 25x² = 20x – 4 ____(R: 2/5)

17) 2x = 15 – x² ______(R: 3 , -5)

18) x² + 3x – 6 = -8____ (R:-1 , -2)

19) x² + x – 7 = 5 ____(R: -4 , 3)

20) 4x² - x + 1 = x + 3x² ___(R: 1)

21) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x²____ (R: -3)

22) 4 + x ( x - 4) = x _____(R: 1,4)

23) x ( x + 3) – 40 = 0 _____(R: 5, -8)

24) x² + 5x + 6 = 0 _____(R:-2,-3)

25) x² - 7x + 12 = 0 _____(R:3,4)

26) x² + 5x + 4 = 0 _____(R:-1,-4)

27) 7x² + x + 2 = 0 _____(vazio)

28) x² - 18x + 45 = 0 _____(R:3,15)

29) -x² - x + 30 = 0 _____(R:-6,5)

30) x² - 6x + 9 = 0 _____(R:3)

31) ( x + 3)² = 1_______(R:-2,-4)

32) ( x - 5)² = 1_______(R:6,4)

33)( 2x - 4)² = 0_______(R:2)

34) ( x - 3)² = -2x²_______(R:vazio)

3) RESOLVA AS EQUAÇÕES

a) x² - 7x = 0 (R: 0 e 7)

b) x² + 5x = 0 (R: 0 e -5)

c) 4x² - 9x = 0 (R: 0 e 9/4)

d) 3x² + 5x =0 (R: 0 e -5/3)

e) 4x² - 12x = 0 (R: 0 e 3)

f) 5x² + x = 0 (R: 0 e -1/5)

g) x² + x = 0 (R: 0 e -1)

h) 7x² - x = 0 (R: 0 e 1/7)

i) 2x² = 7x (R: 0 e 7/2)

j) 2x² = 8x (R: 0 e 4)

k) 7x² = -14x (R: 0 e -2)

l) -2x² + 10x = 0 (R: 0 e 5)

4) CALCULE

a) x² + x ( x – 6 ) = 0 (R: 0 e 3)

b) x(x + 3) = 5x (R: 0 e 2)

c) x(x – 3) -2 ( x-3) = 6 (R: 0 e 5)

d) ( x + 5)² = 25 (R: 0 e -10)

e) (x – 2)² = 4 – 9x (R: 0 e -5)

f) (x + 1) (x – 3) = -3 (R: 0 e 2)

PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2° GRAU



1) A soma de um numero com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (R:9 e-10)

2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero           (R: 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R:1)

4) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número (R:10 e -8)

5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número (R: 5)

6) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número. Calcule esse número.(R: 0 e 4)

7) O quadrado menos o quádruplo de um numero é igual a 5. Calcule esse número (R: 5 e -1)

8) O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é esse numero? (R: 6 e -3)

9) O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse numero por 7 menos 3. Qual é esse numero? (R:3 e ½)

10) O quadrado de um número menos o triplo do seu sucessivo é igual a 15. Qual é esse numero?(R: 6 e -3)

11) Qual o número que somado com seu quadrado resulta em 56?   (R:-8 e 7)

12) Um numero ao quadrado mais o dobro desse número é igual a 35. Qual é esse número ? (R:-7 e 5)

13) O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número? (R:8 e -5)

14) Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o dobro desse número seja igual a 40. (R:4)

15) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 48. (R:8)

16) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2. Qual é esse número? (R:1 e 2)

17) Qual é o número , cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40?    ( R: 5 , -8)

18) O quadrado de um número diminuido de 15 é igual ao seu dobro. Calcule esse número.
(R: 5 e -3)

19) Determine um número tal que seu quadrado diminuído do seu triplo é igual a 28. (R:7 e -4)

20) Se do quadrado de um número, negativo subtraimos 7, o resto será 42. Qual é esse número? (R: -7)

21) A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse número é 77. Calcule o número. (R: 7)

22) Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 143.                                     (R: 11 e 13 ou -11, -13)

23) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? (R:15 cm)