POTÊNCIAS

* Definição

Dado um certo número real qualquer, e um número n, inteiro e positivo, é definido iⁿ = potência de base (i) e com expoente (n) como sendo o produto de n fatores iguais a (i).

Exemplos de fixação da definição:

Potência = 2³

2 x  2 x  2 = ( 03 fatores) = 8

Potência = 3⁵

3 x 3 x 3 x 3 x 3  = (05 fatores) = 243

Notação:  2³ = 8

                        2 - BASE

                        3 - EXPOENTE

                        8 - POTÊNCIA

Notação: 3⁵ = 243

                       3 - BASE

                       5 - EXPOENTE

                       243 - POTÊNCIA

Alguns casos particulares:

1) Expoente igual a um (1)

(1/2)¹ = 1/2

5¹ = 5

³¹ = 3

2) Expoente igual à zero (0)

5⁰ = 1

6⁰ = 1

7⁰ = 1

Por convenção, resolveu-se que toda número elevado ao número zero, o resultado será igual a 1.

Mais Exemplos de fixação da definição:

1) 5³ = 5 x 5 x 5 = 125

2) 4⁰ = 1

3) 10⁰ = 1

4) 20¹ = 20

* Propriedades de Potências

- Divisão de potência de mesma base

Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum e subtraem-se os expoentes conforme a ordem o qual eles aparecem no problema.

Exemplos de fixação:

1) 2⁴   ÷ 2 =  2^4-1  = 2³

2) 3⁵   ÷ 3² =  3^5-2  = 3²

3) 4⁶   ÷ 4³ =  4^6-3  = 4³

Temos então:  I^m ÷ Iⁿ = Im-n  , I#0

- Produto de potência de mesma base

Na operação de multiplicação entre potências de mesma base, é conservada a base comum e somam-se os expoentes em qualquer ordem dada no problema.

Exemplos de fixação:

1) 2⁴  x 2 =  2⁴⁺¹  = 2⁵

2) 3⁵   x 3² =  3⁵⁺²  = 3⁷

3) 4⁶   x 4³ =  4⁶⁺³  = 4⁹

Temos então:  I^m x Iⁿ = I^m+n

- Potência de Potência

Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efetuar este cálculo conserva-se a base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos.

Exemplos de fixação:

1) (2³)⁴   =  2¹²  , pois = 2³  x 2³  x 2³ x 2³

2) (3²)³   =  3⁶  , pois = 3²  x 3²  x 3²

3) (4²)⁵   =  4¹⁰  , pois = 4²  x 4²  x 4² x 4² x 4²

Temos então:  (Iⁿ)^m   = I^nxm

- Potência de um produto

Para se efetuar esta operação de potência de um produto, podemos elevar cada fator a esta potência.

Exemplos de fixação:

1) (b⁵ya³ )⁴   =  b²⁰y⁴a¹²

2) (c²d²e⁵ )²   =  c⁴d⁴e¹⁰

3) (d³a⁴ )³   =  d⁹a¹²

Temos então:  (I.T)^m   = I ^m x T ^m

- Potência com expoente negativo

Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração o qual o numerador é a unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porém apresentando o expoente positivo.

Exemplos de fixação:

1) 2^-4   =  1/2⁴   = 1/16

2) 3^-3   =  1/3³   = 1/27

3) 4^-2   =  1/4²   = 1/16

Temos então:  (I)^-m   = 1/I ^m I#0

- Potência de fração

Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador, respectivamente, a esta potência.

1) (a/b)⁴   =  a⁴/b⁴   = b#0

2) (a² /b⁴)³   =  a⁶/b¹²   = b#0

3) (a³ /b²)³   =  a⁹/b⁶   = b#0

Temos então:  (a/b)^m   = a^m/b^m   b #0

- Potência de 10

Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Para isto guarde bem estas técnicas :

1) Para se elevar 10ⁿ (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a direito do número 1.

Exemplos de fixação:

a) 10⁴ = 10000

b) 10⁶ = 1000000

c) 10⁷ = 10000000

2) Para se elevar 10-n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a esquerda do número 1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu.

Exemplos de fixação:

a) 10-4 = 0,0001

b) 10-6 = 0,000001

c) 10-7 = 0,0000001

3) Decompondo números em potências de 10

Exemplos de fixação (números maiores que 1):

a) 300 = 3.100 = 3.10²

b) 7000 = 7.1000 = 7.10³

c) 10.000 = 1.10000 = 1.10⁴

Exemplos de fixação (números menores que 1):

a) 0,004 = 4.0,001 = 4.10^-3

b) 0,0008 = 8.0,0001 = 8.10^-4

c) 0,00009 = 9.0,00001 = 9.10^-5

- Potência de números relativos

a) Caso o expoente seja par o resultado dará sempre positivo.

Veja: (+2)² = 4  / / (-2)⁴   = 16

b) Caso o expoente seja impar, o resultado trará sempre o sinal da base da potência.

Veja: (+3)³ = 27  / / (-3)³   = -27

Observação importante: -2²   # (-2) ²  , pois -2²   = -4 e (-2) ²  = 4. A diferença está que na primeira potência apenas o número 2 está elevado ao quadrado, enquanto que na segunda o sinal e o número 2 estão elevados ao quadrado, tornando o resultado, então, positivo, conforme colocado.

                                         EXERCÍCIOS

1) Calcule as potências ;

a) (+7)²= (R: +49)

b) (+4)² = (R: +16)

c) (+3)² = (R: +9)

d) (+5)³ = (R: +125)

e) (+2)³ = (R: +8)

f) (+3)³ = (R: +27)

g) (+2)⁴ = (R: +16)

h) (+2)⁵ = (R: +32)

i) (-5)² = (R: +25)

j) (-3)² = (R: +9)

k) (-2)³ = (R: -8)

l) (-5)³ = (R: -125)

m) (-1)³ = (R: -1)

n) (-2)⁴ = (R: +16)

o) (-3)³ = (R: -27)

p) (-3)⁴ = (R: +81)


2) Calcule as potencias:

a) (-6)² = (R: +36)

b) (+3)⁴ =  (R: +81) 

c) (-6)³ = (R: -216)

d) (-10)² = (R: +100)

e) (+10)² = (R: +100)

f) (-3)⁵ = (R: -243)

g) (-1)⁶ = (R: +1)

h) (-1)³ = (R: -1)

i) (+2)⁶ = (R: +64)

j) (-4)² = (R: +16)

k) (-9)² = (R: +81)

l) (-1)⁵⁴ = (R: +1)

m) (-1)¹³ = (R: -1)

n) (-4)³ = (R: -64)

o) (-8)² = (R: +64) 

p) (-7)² = (R: +49)

3) Calcule as potencias

a) 0⁷ = (R: 0)

b) (-2)⁸ = (R: 256)

c) (-3)⁵ = (R: -243)

d) (-11)³ = (R: -1331)

e) (-21)² = (R: 441)

f) (+11)³ = (R: +1331)

g) (-20)³ = (R: -8000)

h) (+50)² = (R: 2500)

4) Calcule o valor das expressões (primeiro as potências)

a) 15 + (+5)² = (R: 40)

b) 32 – (+7)² = (R: -17)

c) 18 + (-5)² = (R: 43)

d) (-8)² + 14 = (R: 78)

e) (-7)² - 60 = (R: -11)

f) 40 – (-2)³ = (R: 48)

g) (-2)⁵ + 21 = (R: -11)

h) (-3)³ - 13 = (R: -40)

i) (-4)² + (-2)⁴ = (R: 32)

j) (-3)² + (-2)³ = (R: 1)

k) (-1)⁶ + (-3)³ = (R: -26)

l) (-2)³ + (-1)⁵ = (R: -9)

5) Calcule as potências:

a) (+6)¹ = (R: +6)

b) (-2)¹ = (R: -2)

c) (+10)¹ = (R: +10)

d) (-4)⁰ = (R: +1)

e) (+7)⁰ = (R: +1)

f) (-10)⁰ = (R: +1)

g) (-1)⁰ = (R: +1)

h) (+1)⁰ = (R: +1)

i) (-1)⁴²³ = (R: -1)

j) (-50)¹ = (R: -50)

k) (-100)⁰ = (R: +1)

l) 20000⁰ = (R: +1)

6) Calcule o valor das expressões (primeiro as potências):

a) 35 + 5²= (R: 60)

b) 50 - 4² = (R: -14) 

c) -18 + 10² = (R: 82) 

d) -6² + 20 = (R: -16)

e) -12-1⁷ = (R: -13)

f) -2⁵ - 40 = (R: -72)

g) 2⁵ + 0 - 2⁴ = (R: 16) 

h) 2⁴ - 2² - 2⁰ = (R: 11)

i) -3² + 1 - .65⁰ = (R: -9)

j) 4² - 5 + 0 + 7² = (R: 60)

k) 10 - 7² - 1 + 2³ = (R: -32)

l) 3⁴ - 3³ + 3² - 3¹ + 3⁰ = (R: 61)

7) Reduza a uma só potência:

a) 5⁶ . 5² = 5⁹

b) x⁷. x⁸= x¹⁵

a) 2⁴ . 2 . 2⁹ = 2¹⁴

b) x⁵ .x³ . x = x⁹

c) m⁷ . m⁰ . m⁵ = m¹²

d) a . a² . a = a⁴

8) Reduza a uma só potencia:

a) (+5)⁷ . (+5)² = [R: (+5)⁹]

b) (+6)² . (+6)³ = [R: (+6)⁵]

c) (-3)⁵ . (-3)² = [R: (-3)⁷]

d) (-4)² . (-4) = [R: (-4)³]

e) (+7) . (+7)⁴ = [R: (+7)⁵]

f) (-8) . (-8) . (-8) = [R: (-8)³]

g) (-5)³ . (-5) . (-5)² = [R: (-5)⁶]

h) (+3) . (+3) . (+3)⁷ = [R: (+3)⁹]

i) (-6)² . (-6) . (-6)² = [R: (-6)⁵]

j) (+9)³ . (+9) . (+9)⁴ = [R: (+9)⁸] 

9) Reduza a uma só potência:

a) (-3)⁷ : (-3)² = [ R: (-3)⁵]

b) (+4)¹⁰ : (+4)³ = [R: ( +4)⁷]

c) (-5)⁶ : (-5)² = [R: (-5)⁴]

d) (+3)⁹ : (+3) = [R: (+3)⁸]

e) (-2)⁸ : (-2)⁵ = [R: (-2)³]

f) (-3)⁷ : (-3) = [R: (-3)⁶]

g) (-9)⁴ : (-9) = [R: (-9)³]

h) (-4)² : (-4)² = [R: (-4)⁰ = 1]

10) Calcule os quocientes:

a) (-5)⁶ : (-5)⁴ = (R: 25)

b) (-3)⁵ : (-3)² = (R: -27 )

c) (-4)⁸ : (-4)⁵= (R: -64)

d) (-1)⁹ : (-1)² = (R: -1)

e) (-7)⁸ : (-7)⁶= (R: 49)

f) (+10)⁶ : (+10)³ = (R: 1000)

11) Aplique a propriedade de potência de potência.

a) [(-4)² ]³ = (-4)⁶

b) [(+5)³ ]⁴ = (+5)¹²

c) [(-3)³ ]² = (-3)⁶

d) [(-7)³ ]³ = (-7)⁹

e) [(+2)⁴ ]⁵ = (+2)²⁰ 

f) [(-7)⁵ ]³ = (-7)¹⁵

g) [(-1)² ]² = (-1)⁴

h) [(+2)³ ]³ = (+2)⁹

i) [(-5)⁰ ]³ = (-5)⁰ = 1

12) Calcule o valor de:

a) [(+3)³]² = 729

b) [(+5)¹]⁵ = -243

c) [(-1)⁶]² = 1 

d) [(-1)³]⁷ = -1

e) [(-2)²]³ = 64

f) [(+10)²]² = 10000