FUNÇÃO DO 2° GRAU

Definição

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

f(x) = 3x² - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
f(x) = - x² + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
f(x) = -4x², onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a 0, é uma curva chamadaparábola.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = x² + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

="center">

x	y
-3	6
-2	2
-1	0

0	0
1	2
2	6

Observação:

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax² + bx + c, notaremos sempre que:

se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zero e Equação do 2º Grau

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax² + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Então as raízes da função f(x) = ax² + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

Temos:

Observação

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:

quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
quando é zero, há só uma raiz real;
quando é negativo, não há raiz real.

Coordenadas do vértice da parábola

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:

Imagem

O conjunto-imagem Im da função y = ax² + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

1ª - quando a > 0,

a > 0

2ª quando a < 0,

a < 0

Construção da Parábola

É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:

O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola;
Para x = 0 , temos y = a · 0² + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.

Sinal

Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax² + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
Conforme o sinal do discriminante = b² - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:

1º - > 0
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:

quando a > 0

y > 0 (x < x₁ ou x > x₂)
y < 0 x₁ < x < x₂

quando a < 0

y > 0 x₁ < x < x₂
y < 0 (x < x₁ ou x > x₂)

2º - = 0

quando a > 0

quando a < 0

3º - < 0

quando a > 0

quando a < 0

EXERCÍCIOS

1) A representação cartesiana da função $formdata=y=ax^2+bx+c$ é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:

exe1.gif (1430 bytes)

(A) a<0, b<0 e="" c="">0
(B) a>0, b>0 e c<0
(C) a>0, b>0 e c>0
(D) a<0, b>0 e c<0
(E) a<0, b>0 e c>0

2) Qual a função que representa o gráfico seguinte?

exe2.gif (2682 bytes)

(A) $formdata=y=2x^2+3x-9$
(B) $formdata=y=-2x^2+3x-9$
(C) $formdata=y=2x^2-3x-9$
(D) $formdata=y=-2x^2-3x-9$
(E) $formdata=y=2x^2+3x+9$

3) O valor mínimo do polinômio $formdata=y=x^2+bx+c$ , cujo gráfico é mostrado na figura, é:

exe3.gif (1535 bytes)

(A) $formdata=-1$
(B) $formdata=-2$

(D) $formdata=-\frac{9}{2}$

(E) $formdata=-\frac{3}{2}$

4) (UFRGS) As soluções reais da desigualdade $formdata=x^2+1>2x$ são os números x, tais que

(A) $formdata=x\in\Re$
(B) $formdata=x\ge+1$
(C) $formdata=x>1$
(D) $formdata=x\ne+1$
(E) $formdata=x<1$

5) (UFRGS) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação $formdata=y=-40x^2+200x$ . Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a

(A) 6,25 m, 5s
(B) 250 m, 0 s
(C) 250 m, 5s
(D) 250 m, 200 s
(E) 10.000 m , 5s

6) (UFRGS) Considere a função $formdata=f:\Re\rightarrow\Re$ , definida por $formdata=f(x)=ax^2+bx+c$ , com $formdata=a<0$ e $formdata=c>0$ . O gráfico de f

(A) não intercepta o eixo das abscissas
(B) intercepta o eixo horizontal em dois pontos, de abscissas negativa e positiva respectivamente
(C) intercepta o eixo das abscissas em um único ponto
(D) intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, ambos positivos.
(E) intercepta o eixo das ordenadas em dois pontos.

7) A razão entre a soma e o produto das raízes da equação $formdata=2x^2-7x+3=0$

(A) $formdata=\frac{7}{3}$

(B) $formdata=\frac{7}{2}$

(D) $formdata=\frac{3}{7}$

(E) $formdata=\frac{2}{7}$

8) A solução de $formdata=x-x^2>0$ é

(A) (0, 1)
(B) (-∞, 0)U(1, +∞)
(C) (-1, 1)
(D) (-∞, -1)U(1,+∞)
(E) R

9) (UFRGS) Para que a prábola da equação $formdata=y=ax^2+bx-1$ contenha os pontos (-2; 1) e (3; 1), os valores de a e b são, respectivamente,

(A) e $formdata=-3$

(B) $formdata=\frac{1}{3}$ e $formdata=-\frac{1}{3}$

(D) $formdata=\frac{1}{3}$ e $formdata=-3$

(E) $formdata=1$ e $formdata=\frac{1}{3}$

10) O vértice da parábola que corresponde à função $formdata=y=(x-2)^2+2$ é

(A) (-2, -2)
(B) (-2, 0)
(C) (-2, 2)
(D) (2, -2)
(E) (2, 2)

11) A figura abaixo ilustra uma ponte suspensa por estruturas metálicas em forma de arco de parábola.

função segundo grau

Os pontos A, B, C, D e E estão no mesmo nível da estrada e a distância entre quaisquer dois consecutivos é 25m. Sabendo-se que os elementos de sustentação são todos perpendiculares ao plano da estrada e que a altura do elemento central CG é 20m, a altura de DH é:

(A) 17,5m
(B) 15,0m
(C) 12,5m
(D) 10,0m
(E) 7,5m

GABARITO
01-E	04-D	07-A	10-E
02-C	05-C	08-A	11 - B
03-C	06-B	09-B

Função Quadrática ou do 2º grau

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