PROPORÇÃO
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:
Notas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as
partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o
matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537,
o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma
6:3::8:4.
Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções
durante o período do Renascimento.
Propriedade fundamental das proporções
Numa proporção:
os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale
a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:
A · D = B · C
Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:
Exercício:
Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.
Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:
Para obter X=2.
Razões e Proporções de Segmentos
Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, respectivamente, por 2cm e 4cm.
A________B, C ______________ D
Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas medidas.
Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 2 ou que CD está para AB na razão de 2 para 1.
Polígonos Semelhantes
Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.
Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.
Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas aqui
por, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais.
AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2
Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por :
ABC ~ DEF
Figuras Semelhantes
Duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas correspondentes
congruentes, ou seja, quando uma é uma ampliação ou redução da outra. Isto significa que
existe uma proporção constante entre elas sem ocorrência de deformação. A figura final e a
figura original são chamadas figuras semelhantes.
As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões dos
segmentos que ocupam as correspondentes posições relativas nas figuras.
Exemplo: Nos triângulos
observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, B=S e
C=T e os lados correspondentes são proporcionais.
AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2
Assim, os triângulos ABC e DEF são semelhantes e indicamos por:
ABC ~ DEF
Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.
Os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhos diferentes. O mapa verde é uma
ampliação do mapa amarelo ou o mapa amarelo é uma redução do mapa verde.
Aplicações práticas das razões
Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais:
velocidade média, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo.
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Velocidade Média: A "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida
pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou
metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou
segundos).
vmédia = distância percorrida / tempo gasto
Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em
2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?
A partir dos dados do problema, teremos:
vmédia = 328 Km / 2h = 164 Km/h
o que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de
164 Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.
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Escala: Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na
escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como
escala. Chamamos de escala de um desenho à razão entre o comprimento
considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos
medidos na mesma unidade.
escala = comprimento no desenho / comprimento real
Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos
como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios,
mapas, maquetes, etc.
Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:
Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4
Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8
Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6
O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do
barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou
seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma
proporção.
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Densidade Demográfica: O cálculo da densidade demográfica, também
chamada de população relativa de uma região é considerada uma aplicação
de razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o numero de
habitantes e a área ocupada em uma certa região.
Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que
significa 6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre
a expulsão de 1 jogador de um time, sendo que não pode haver
substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado
pelo time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a
densidade demográfica é menor na quadra que tem um jogador expulso e
maior na outra quadra.
Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km². De acordo
com o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de
12.000.000 habitantes. Assim:
dens.demográfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km²
densidade demográfica = 60 habitantes/ Km2
Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente 60 habitantes.
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Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo é mais uma aplicação de
razão entre duas grandezas. Assim, a densidade (volumétrica) de um corpo
é a razão entre a massa desse corpo, medida em Kg ou gramas e o seu
volume, medido em m³, dm³ ou qualquer outra unidade de volume.
Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de
8,75 kg/dm³ então para cada dm³ há uma massa de 8,75 kg.
Curiosidade:Devido à existência de densidades diferentes, observamos que
ao colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água, alguns
afundam e outros flutuam.
Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de
mesmo volume afundará. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é
maior que a densidade do isopor. Algumas substâncias e suas densidades
estão na tabela abaixo:
| Substância |
Densidade [g/cm³] |
| madeira |
0,5 |
| gasolina |
0,7 |
| álcool |
0,8 |
| alumínio |
2,7 |
| ferro |
7,8 |
| mercúrio |
13,6 |
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Pi: Uma razão muito famosa: Os egípcios trabalhavam muito com certas razões e
descobriram a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Este é
um fato fundamental pois esta razão é a mesma para toda circunferência. O nome desta
razão é Pi e seu valor é aproximadamente:
Pi = 3,1415926535
Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâmetro da
circunferência, temos uma razão notável:
C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...
significando que
C = Pi . D
Exemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5cm então o perímetro da
circunferência é igual a 9,43cm.
EXERCÍCIOS
1) João tem 9 anos, Pedro tem 6 anos e Júlia tem 2 anos. Eles receberam de seu pai R$850,00 que foram repartidos em quantias diretamente proporcionais as suas idades. Então pode-se afirmar que:
A) Pedro recebeu a metade da quantia que Julia recebeu?
B) João recebeu o dobro da quantia que que Pedro recebeu?
C) Júlia recebeu um terço da quantia que Pedro recebeu
D) João Pedro e Júlia receberam , respectivamente , R$ 150,00; R$400,00; R$ 300,00
2) Determine x e y de modo que as sucessões (20, x, y) e (3, 4, 5) sejam inversamente proporcionais.
3) Uma herança será dividida entre dois herdeiros em partes inversamente proporcionais às fortunas acumuladas por cada um deles até o momento da partilha. Inicialmente, as fortunas são de 10 milhões e 15 milhões e crescem a uma taxa de 10% (cumulativos) ao ano. Se a partilha será consumada em 10 anos, que fração da herança caberá ao herdeiro que possuía inicialmente 15 milhões?
A) 3/10 B) 2/5 C) 1/2 D) 3/5 E) 7/10
4) O peso de uma sacola em kg está para o peso de uma outra sacola também em kg, assim como 32 está para 28. Quanto pesa cada uma das sacolas, sabendo-se que juntas elas pesam 15kg?
5) Almejando desenhar uma representação de um objeto plano de 5m de comprimento, usando uma escala de 1:20, qual será o comprimento no desenho?
6) (ENEM-2010) Existe uma cartilagem entre os ossos que vai crescendo e e calcificando desde a infância até a idade adulta. No fim da puberdade, os hormônios sexuais fazem com que essas extremidades ósseas (epífises) se fechem e o crescimento seja interrompido. Assim, quanto maior for a área calcificada entre os ossos, mais a criança poderá crescer ainda. Aexpectativa é que durante os 4 ou 5 anos da puberdade, um garoto ganhe de 27 a 30 centímetros.
Revista Cláudia. Abr. 2010 (adaptado).
De acordo com as informações, um garoto que inicia a puberdade com 1,45m de altura poderá chegar ao final dessa fase com uma altura:
A) mínima de 1,458m. B) mínima de 1,477m. C) máxima de 1,480. D) máxima de 1,750m.
7) Uma prova no valor de 100 pontos deveria ter x questões de mesmo valor. Como o tempo não seria suficiente, a professora fez o teste valendo 80 pontos e retirou 4 questões. O valor de cada questões continuou igual. Então o número de questões na prova original era de:
A) 60 questões B) 40 questões C) 20 questões D) 10 questões
8) (FUVEST) Suponha que a taxa de inflação seja 30% ao mês durante 12 meses ; daqui a um ano seja instituído o "cruzado novo ", valendo Cz$ 1000 ; e que sejam colocadas em circulação moedas de 10 centavos , 50 centavos e 1 cruzado novo . Qual será então o preço , em cruzados novos , de um cafezinho que custa hoje Cz$ 20,00 ?
A) NCZ$ 0,20 B) NCZ$ 0,30 C) NCZ$ 0,40 D) NCZ$ 0,50 E) NCZ$ 0,60
9) Um automóvel com velocidade de 80 km/h demora 3h para percorrer uma certa distância.Quanto o tempo demorará para percorrer a mesma distância um outro auto cuja velocidade é de 120 km/h?
a) 2 horas b) 3 horas c) 4 horas d) 5 horas e) 6 horas
10) Dois números negativos encontram-se na proporção de 7 para 3. Determine-os sabendo que o quadrado do primeiro supera o quadrado do segundo em 360.
Gabarito:1) C 2) x=15 e y=12 3) B 4) 7kg 5) 25cm 6) D 7) C 8) D 9) A 10) x = -21 e y = -9
