Máximo Divisor Comum - MDC

Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se máximo divisor comum (MDC) o maior número que é divisor de todos eles.

Entenda por divisor, um número natural não nulo, que ao dividir um outro número natural, produz uma divisão com resto igual a zero, isto é, produz uma divisão exata.

Com este sentido, o conjunto dos números formados pelos divisores de um número natural qualquer é um conjunto finito.

Caso o número 1 seja o único divisor comum a um conjunto de números naturais, dizemos que os números deste conjunto são primos entre si.

Divisores de um Número Natural e o seu MDC

Analisemos os números naturais 108, 135 e 63. Seus divisores são respectivamente:

• { , , , , , , ,  }1349122736108
• { , , , , , , ,  }1359152745135
• { 1, 3, 7, 9, 21, 63 }

De todos os divisores que cada um dos números possui, o número 9 é o maior deles que é comum a todos os três.

Temos então que:

MDC(108, 135, 63) = 9

Como descobrir o MDC de um conjunto de números?

Um método prático para se determinar o MDC de um grupo de números naturais é a fatoração.

Para podermos comparar o resultado obtido pelo método acima e o obtido pela fatoração, vamos utilizar de novo os números 108, 135 e 63 como exemplo.

Tópico relacionadoDecomposição de um Número Natural em Fatores Primos

Da fatoração deles nós temos que:

• 108 = 3³ . 4
• 135 = 3³ . 5
• 63 = 3² . 7

O MDC(108, 135, 63) é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes.

No caso apenas o fator 3 é comum a todos eles, mas tomemos o 3², pois é o que possui o menor expoente.

Logo:

MDC(108, 135, 63) = 3² = 9

Calculando o MDC entre dois números pelo método das divisões sucessivas

Este método consiste em se dividir o maior número pelo menor. Se a divisão for exata, então o número menor será o MDC entre os dois números. Se não for, então o número que estava sendo utilizado como divisor, passará a ser utilizado como dividendo e o resto da divisão passará a ser o novo divisor.

Se desta vez a divisão for exata, então o divisor atual será o MDC, se não for, repete-se o processo, o número que estava sendo utilizado como divisor, passará a ser utilizado como dividendo e o resto da divisão passa a ser o novo divisor e assim vai até que a divisão seja exata, neste momento o divisor atual será o máximo divisor comum entre os dois números.

Para a exemplificar vamos utilizar os números naturais 80 e 288:

Dividindo 288, que é o maior deles, por 80, teremos 48 como resto da divisão, então devemos continuar o processo.

Agora dividiremos 80 pelo resto 48 e como novo resto iremos obter 32, como a divisão ainda não foi exata, continuamos o processo.

Dividiremos então 48 por 32, cujo resto é 16, o que nos obriga a continuar o processo.

Desta vez dividiremos 32 por 16. Agora a divisão é exata, então o MDC(80, 288) = 16.

Note que por este método só é possível o cálculo do MDC entre dois números. Se você precisar calcular o máximo divisor comum dentre três ou mais números, o ideal é apurar o MDC entre os dois menores e depois ir calculando o máximo divisor entre o MDC atual e o próximo número na ordem ascendente até terminar, ou até que encontre umMDC igual a 1. Por exemplo, o MDC(24, 80, 242) deve ser calculado assim:

Primeiro calcule MDC(24, 80) que é igual a 8, finalmente calcule MDC(8, 242) que é igual a 2.

Para melhor fixação destes conceitos, faça os cálculos por este método e confira o resultado.

Exemplos de MDC

Qual é o MDC(15, 75, 105)?

Fatorando os três números temos:

• 15 = 3 . 5
• 75 = 3 . 5²
• 105 = 3 . 5 . 7

Note que cada fator é considerado apenas uma vez. O fator 3, por exemplo, ocorre tanto para o número 15, quanto para o número 75 e para o 105, mas o consideramos uma única vez. De forma análoga agimos em relação ao fator 5.

MDC(15, 75, 105) = 3 . 5 = 15

Portanto:

O MDC(15, 75, 105) é igual 15

Qual é o MDC(100, 150, 200, 250)?

Da Fatoração dos quatro números temos:

• 100 = 2² . 5²
• 150 = 2 . 3 . 5²
• 200 = 2³ . 5²
• 250 = 2 . 5³

Os fatores 2 e 5 são comuns aos quatros números. O menor expoente do 2 é 1 e do 5 é 2. Assim:

MDC(100, 150, 200, 250) = 2 . 5² = 50

Logo:

O MDC(100, 150, 200, 250) é igual a 50

Qual é o MDC(25, 16)?

A decomposição dos dois números em fatores primos nos dá:

• 25 = 5²
• 16 = 2⁴

Não há fatores comuns, já que 25 e 16 são primos entre si, então:

MDC(25, 16) = 1

Portanto:

O MDC(25, 16) é o número 1.

Exemplo

Determinar o mdc de 18 e 60

18 I 2
09I 3
03I 3
01


60 I 2
30 I 2
15 I 3
05 I 5
01 I


18 = 2 x 3 x 3
60 = 2 x 2 x3 x 5

comum nas duas fatorações é um número 2 e um número 3
sendo assim 3 x 2 = 6 o m.d,c,(18,60)= 6

                                                           Exercícios

1) Determine o m.d.c.

a) m.d.c (9,12) = (R: 3)

b) m.d.c.(8,20) = (R:4)

c) m.d.c.(10,15) = (R: 5)

d) m.d.c.(9,12) = ( R: 3)

e) m.d.c.(10,20) = (R: 10)

f) m.d.c.( 15,20) = (R: 5)

g) m.d.c.(48,18) = (R: 6)

h) m.d.c.(30,18) = (R: 6)

i) m.d.c.(60,36) = (R:12)

j) m.d.c.(30,15) = (R: 15)

l) m.d.c.(80,48) = (R: 16)

m) m.d.c.(3,15,12) = (R: 3)

n) m.d.c.(20,6,14) = (R: 2)

2) Calcule