Sistemas de Equações do Primeiro Grau com Duas Incógnitas

Quando tratamos as equações do 1° grau com duas variáveis vimos que a equação x + y = 20 admite infinitas soluções, pois se não houver restrições como as do exemplo na página em questão, podemos atribuir qualquer valor a x, e para tornar a equação verdadeira, basta que calculemos y como sendo 20 - x.

A equação x - y = 6 pelos mesmos motivos, em não havendo restrições, também admite infinitas soluções.

Como as equações x + y = 20 e x - y = 6 admitem infinitas soluções podemos nos perguntar:

Será que dentre estas soluções existem aquelas que são comuns às duas equações, isto é, que resolva ao mesmo tempo tanto a primeira, quanto à segunda equação?

Este é justamente o tema deste tópico que vamos tratar agora.

                                             Métodos de Resolução

Há vários métodos para calcularmos a solução deste tipo de sistema. Agora veremos os dois mais utilizados, primeiro o método da adição e em seguida o método da substituição.

                                                   Método da Adição

Este método consiste em realizarmos a soma dos respectivos termos de cada uma das equações, a fim de obtermos uma equação com apenas uma incógnita.

Quando a simples soma não nos permite alcançar este objetivo, recorremos ao princípio multiplicativo da igualdade para multiplicarmos todos os termos de uma das equações por um determinado valor, de sorte que a equação equivalente resultante, nos permita obter uma equação com uma única incógnita.

A seguir temos outras explicações que retratam estas situações.

                              Quando o sistema admite uma única solução?

Tomemos como ponto de partida o sistema composto pelas duas equações abaixo:

Perceba que iremos eliminar o termo com a variável y, se somarmos cada um dos termos da primeira equação com o respectivo termo da segunda equação:

Agora de forma simplificada podemos obter o valor da incógnita x simplesmente passando o coeficiente 2 que multiplica esta variável, para o outro lado com a operação inversa, dividindo assim todo o segundo membro por 2:

Agora que sabemos que x = 13, para encontrarmos o valor de y, basta que troquemos x por 13 na primeira equação e depois isolemos y no primeiro membro:

Escolhemos a primeira e não a segunda equação, pois se escolhêssemos a segunda, teríamos que realizar um passo a mais que seria multiplicar ambos os membros por -1, já que teríamos -y no primeiro membro e não y como é preciso, no entanto podemos escolher a equação que quisermos. Normalmente iremos escolher a equação que nos facilite a realização dos cálculos.

Observe também que neste caso primeiro obtivemos o valor da variável x e em função dele conseguimos obter o valor de y, porque isto nos era conveniente. Se for mais fácil primeiro encontrarmos o valor da segunda incógnita, é assim que devemos proceder.

Quando um sistema admite uma única solução dizemos que ele é um sistema possível e determinado.

                         Quando o sistema admite uma infinidade de soluções?

Vejamos o sistema abaixo:

Note que somando todos os termos da primeira equação ao da segunda, não conseguiremos eliminar quaisquer variáveis, então vamos multiplicar os termos da primeira por -2 e então realizarmos a soma:

Veja que eliminamos não uma das variáveis, mas as duas. O fato de termos obtido 0 = 0 indica que o sistema admite uma infinidade de soluções.

Quando um sistema admite uma infinidade de soluções dizemos que ele é um sistema possível e indeterminado.

                                  Quando o sistema não admite solução?

Vejamos este outro sistema:

Note que se somarmos os termos da primeira equação com os da segunda, também não conseguiremos eliminar nenhuma das variáveis, mas agora veja o que acontece se multiplicarmos por 2 todos os termos da primeira equação e realizarmos a soma das equações:

Obtivemos 0 = -3 que é inválido, este é o indicativo de que o sistema não admite soluções.

Quando um sistema não admite soluções dizemos que ele é um sistema impossível.

                                                Método da Substituição

Este método consiste em elegermos uma das equações e desta isolarmos uma das variáveis. Feito isto substituímos na outra equação, a variável isolada pela expressão obtida no segundo membro da equação obtida quando isolamos a variável.

Este procedimento também resultará em uma equação com uma única variável.

O procedimento é menos confuso do que parece. A seguir veremos em detalhes algumas situações que exemplificam tais conceitos, assim como fizemos no caso do método da adição.

                              Quando o sistema admite uma única solução?

Para nos permitir a comparação entre os dois métodos, vamos utilizar o mesmo sistema utilizado no método anterior:

Vamos escolher a primeira equação e isolar a variável x:

Agora na segunda equação vamos substituir x por 20 - y:

Agora que sabemos que y = 7, podemos calcular o valor de x:

                        Quando o sistema admite uma infinidade de soluções?

Solucionemos o sistema abaixo:

Este sistema já foi resolvido pelo método da adição, agora vamos resolvê-lo pelo método da substituição.

Por ser mais fácil e gerar em um resultado mais simples, vamos isolar a incógnita y da primeira equação:

Agora na outra equação vamos substituir y por 10 - 2x:

Como obtivemos 0 = 0, o sistema admite uma infinidade de soluções.

                                       Quando o sistema não admite solução?

Novamente vamos solucionar o mesmo sistema utilizado no método anterior:

Observe que é mais viável isolarmos a variável x da primeira equação, pois o seu coeficiente 2 é divisor de ambos coeficientes do primeiro membro da segunda equação, o que irá ajudar nos cálculos:

Agora substituímos x na segunda equação pelo valor encontrado:

Conforme explicado anteriormente, o resultado 0 = -3 indica que este sistema não admite soluções.

                                                EXERCICIOS

1)  Resolva os sistemas formados pelas equações:

 a) x + y = 1

   4x + 7y = 10

b) 3x + y = 13

     x – 2y = 2

c) 2x + y = 4

    3x – y = 1

d) 2x + y = 5

     x – y = 1

e) x + y = 4

  3x + 2y = 9

 S={(-1 , 2)} S={(4 , 1)} S={(1 ,2 )} S={( 2, 1)} S={( 1, 3)}

 2) Resolva os problemas:

 a) Tenho que comprar lápis e canetas. Se comprar 7 lápis e 3 canetas, gastarei R$ 16,50. Se comprar 5 lápis e 4 canetas, gastarei R$ 15,50. Qual o preço de cada lápis e cada caneta?

 Resposta: Preço do lápis é R$ 1,50 e preço da caneta é R$ 2,00

 b) Certo dia, numa mesma casa de câmbio, Paulo trocou 40 dólares e 20 euros por R$ 225,00 e Pedro trocou 50 dólares e 40 euros por R$ 336,00. Nesse dia, 1 euro estava cotado em quanto? E um dólar?

Resposta: 1€ = R$ 3,65 e 1U$ =R$ 3,80.

c) Em uma garagem há automóveis e motocicletas. Contando, existem 17 veículos e 58 rodas. Qual o número de cada tipo de veículo?

 Resposta: 12 automóveis e 5 motocicletas.

d) Meu irmão é cinco anos mais velhos do que eu. O triplo da minha idade somado ao dobro da idade dele dá 100 anos. Quais é nossa idade?

 Resposta: 18 e 23 anos respectivamente.

e) Para assistir a um show em um clube, compareceram 4000 pessoas. Nesse show, o número de sócios presentes foi 1100 a menos que o dobro do número de não sócios presentes. Qual o número de sócios compareceu ao show?

Resposta: Número de sócios é 2300.

 f) Uma pessoa participa de um jogo em que uma moeda honesta é lançada 100 vezes. Cada vez que ocorre cara, ela ganha R$ 10,00 e cada vez que ocorre coroa, perde R$ 5,00. Se após os 100 lançamentos a pessoa teve um ganho líquido de R$ 25,00, quantas vezes deve ter ocorrido cara na moeda?

 Resposta: 35 vezes

. g) Numa lanchonete, 2 copos de refrigerante e 3 coxinhas custam R$ 5,70. O preço de 3 copos de refrigerantes e 5 coxinhas é R$ 9,30. Quais os preços de cada coxinha e cada copo de refrigerante?

 Resposta: Coxinha custa R$ 1,50 e refrigerante custa R$ 0,60.

 h) Um estacionamento cobra R$ 2,00 por moto e R$ 3,00 por carro estacionado. Ao final de um dia, o caixa registrou R$ 277,00 para um total de 100 veículos. Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia?

i)Uma fábrica de refrigerantes produz refrescos de guaraná nas versões tradicional e diet. Os bares vendem os tradicionais por R$ 1,00 e os diet por R$ 1,25. Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes, com um faturamento de R$ 2100,00. Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas.

j) Num quintal há 36 animais entre porcos e galinhas. Sabe-se que há ao todo, 112 pés. Quantos são os porcos e quantas são as galinhas?

 k) No último encontro Nacional de Educação Matemática a inscrição dos professores do ensino médio e fundamental custava R$ 50,00. Os professores do ensino superior pagavam R$ 75,00. A arrecadação total obtida com as inscrições foi de R$ 68 725,00 de um total de 1208 professores inscritos. Quantos eram os professores do ensino fundamental e médio presente?

                                                  EXERCICIOS


 Calcule os sistemas


1) x - 3y = 1
_2x +5y = 13________ (R:4,1)


2) 2x + y = 10
__x + 3y = 15________ (R:3,4)

3) 3x + y = 13
__2x - y = 12________ (R:5,-2)

4) 2x + 7y = 17
__5x - y = -13________ (R:-2,3)

5) 2x + y = 4
__4x - 3y = 3________ (R:3/2,5)

6) x + y = 2
_3x + 2y = 6________ (R:2,0)

7) x/2 + y/3 = 3
____x - y = 1________ (R:4,3)

8) x - y =5
__x +y = 7________ (R:6,1)

9) x - y =2
_2x +y = 4________ (R:2,0)

10) x + y =3
__2x +3y = 8________ (R:1,2)

11) x - 3 = 0
__2x - y = 1________ (R:3,5)

12) 3x + y =5
___2x +y = 4________ (R:1,2)

13) x = y - 2
__2x +y = -1________ (R:-1,1)

14) x - y -2 = 0
__2x +y – 7= 0________ (R:3,1)

15) x + y = 7
___x -y = 1________ (R:4,3)

16) x + y = 6
___2x +y = 4________ (R:-2,8)

17) 2x + y = 5
___x + 2y = 4________ (R:2,1)

18 ) x + y = 11
___x - y = 3________ (R:7,4)

19) x - y = 16
___x +y = 74________ (R:45,29)

20) x - y = 1
___x +y = 9________ (R:5,4)

21) 2x - y = 20
___2x +y = 48________ (R:17,14)

22) x + y = 1
___x - y = 7__________ (R:4, -3)

23) x + y = 3
___x - y = -5_________ (R:-1,4)

24) x + y = 5
___x- y = -5_________ (R: 0,5)

25) Se x e y é a solução do sistema

x + y = 4
x+ 2y = 6

então x - y é:
a) 8
b) 6
c) 4
d) 2
e) 0 (X)


26) Se x e y é a solução do sistema
a + b = 3
2a+ b = 5

então a - b é:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 3
e) 1 (X)

27) Qual a solução do sistema de equações abaixo?

x – y = 3
2x + y = 9

a)(1,0)
b)(2,3)
c)(3,2)
d)(4,1) (X)
e)(5,3)

28) A solução do sistema

2x + y = 10
x + 3y = 15 é

a) x=3 e y=4 (X)
b) x=3 e y=5
c) x=2 e y=4
d) x=1 e y=5
e) x=5 e y=3

29) Se x e y é a solução do sistema

x + 3y = 9
3x+ 2y = 6

então x - y é:

a) 0 (X)
b) 3
c) 6
d) 9