Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se mínimo múltiplo comum (MMC) o menor dos seus múltiplos que é comum a todos eles, com exceção do número zero, pois este é menor dos números naturais e é múltiplo de todos eles.

Os múltiplos de um número natural são todos aqueles que divididos por este número têm zero como o resto da divisão. Por exemplo, 0, 6 e 12 são todos múltiplos de 6, pois qualquer um deles pode dividido por 6 em uma divisão exata. Neste caso o quociente da divisão seria respectivamente 0, 1 e 2. Percebe-se portanto, que os múltiplos de um número natural são o resultado do produto deste número por um outro número natural.

Já que o conjunto dos números naturais é um conjunto infinito, os múltiplos de um número também são infinitos.

Múltiplos de um Número Natural e o seu MMC

Tomemos por exemplo os números naturais 6, 8 e 12. Seus múltiplos são respectivamente:

• { , , , , , , ... }0612182430

• { , , , , , , ... }0816243240

• { 0, 12, 24, 36, 48, 60, ... }
•  

Podemos notar que com exceção do número 0, o número 24 é o menor dos múltiplos comum a

todos eles.

Temos então que:

MMC(6, 8, 12) = 24

Como descobrir o MMC de um conjunto de números?

Um prático método para se determinar o MMC de um conjunto de números naturais é a

decomposição em fatores primos.

Para que possamos fazer uma comparação, vamos tomar novamente os

números 6, 8 e 12 como exemplo.

Tópico relacionado Decomposição de um Número Natural em Fatores Primos

Da fatoração destes três números temos:

• 6 = 2 . 3
• 8 = 2³
• 12 = 2² . 3

O MMC(6, 8, 12) é o produto dos fatores comuns e não comuns, com os maiores

expoentes.

O fator 2 é comum a todos eles, mas tomemos o 2³, pois é o que possui o maior expoente.

O fator 3 não é comum ao número 8, mas independente disto também deve ser considerado e

como nos dois casos onde ele é múltiplo, o expoente é 1, iremos considerar somente

o 3 mesmo.

Note que cada fator é considerado apenas uma vez. O fator 3, por exemplo, ocorre tanto para o

número 6, quanto para o números 12, mas o consideramos apenas uma vez.

Logo:

MMC(6, 8, 12) = 2³ . 3 = 24

Propriedade do MMC e do MDC

Sejam a e b dois ou mais números naturais não nulos temos que MMC(a, b) . MDC(a, b) = a . b.

Observe que esta propriedade e válida apenas para o MMC/MDC entre exatamente dois

números, para três números ou mais esta propriedade não se verifica.

Exemplos de MMC

Qual é o MMC(15, 25, 40)?

Fatorando os três números temos:

• 15 = 3 . 5
• 25 = 5²
• 40 = 2³ . 5

Para uma melhor identificação, os fatores comuns e não comuns com os maiores expoentes

foram marcados em vermelho.

MMC(15, 25, 40) = 2³ . 3 . 5² = 600

Portanto:

O MMC(15, 25, 40) é igual 600

Qual é o MMC(250, 225, 294, 245)?

Da Fatoração dos quatro números temos:

• 250 = 2 . 5³
• 225 = 3² . 5²
• 294 = 2 . 3 . 7²
• 245 = 5 . 7²

MMC(250, 225, 294, 245) = 2 . 3² . 5³ . 7² = 110250

Logo:

O MMC(250, 225, 294, 245) é igual a 110250

Qual é o MMC(27, 81)?

A decomposição dos dois números em fatores primos nos dá:

• 27 = 3³
• 81 = 3⁴

MMC(27, 81) = 3⁴ = 81

Portanto:

O MMC(27, 81) é o próprio número 81.

Se o MDC(27, 72) = 9, qual é o MMC(27, 72)?

Segundo a propriedade do MMC e do MDC temos que :

Logo:

O MMC(27, 72) é igual a 216.

                                                  EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Determinar o m.m.c. de 120 e 80

120,80 I 2
060,40 I 2
030,20 I 2 
015,10 I 2
015,05 I 3
005,05 I 5
001,01

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 240

logo m.m.c. (120,80) = 240

2) Determinar o m.m.c. de 14, 45 e 6

14, 45, 06 I 2
07, 45, 03 I 3 
07, 15, 01 I 3
07, 05, 01 I 5
07, 01, 01 I 7 
01, 01, 01 I

2 x 3 x 3 x5 x7 = 630

logo m.m.c ( 14, 45, 06) = 630


                                                          EXERCÍCIOS

1) Determine o m.m.c. pelo processo da decomposição

a) m.m.c.(15,18) ( R: 90)

b) m.m.c.(10,12) (R: 60)

c) m.m.c.(10,6,15) (R: 30)

d) m.m.c( 12,20,3) (R: 60)

e) m.m.c(15,3) (R:15)

f) m.m.c.( 10,15) (R: 30)

g) m. m. c. ( 18, 30) (R: 90)

h) m.m.c. ( 21, 12 ) (R: 84)

i) m.m.c. ( 35,10) (R: 70)

j) m.m.c. ( 25, 80) (R: 400)

l) m.m.c.( 140,10) (R: 140)

m) m.m.c ( 8,10,25) (R: 200)

n) m.m.c.( 3,12,32) (R: 96)

o) m.m.c.(2,3,5,10) (R: 30)

p) m.m.c. ( 18, 24, 36) (R: 72)

2) Determine o m.m.c

a) m.m.c. ( 50,75) (R: 150)

b) m.m.c. ( 60,24) (R: 120)

c) m.m.c. ( 21,30) (R: 210)

d) m.m.c. ( 28,48) (R: 336)

e) m.m.c ( 2,4) (R: 4)

f) m.m.c. ( 7,5) (R: 35)

g) m.m.c. ( 9,1) (R: 9)

h) m.m.c.( 21,7) (R: 21)

i) m.m.c. ( 8,9) (R: 72)

j) m.m.c. ( 13,26) (R: 26)

l) m.m.c ( 2,4,6) (R: 12)

m) m.m.c. ( 3,6,9) (R: 18)

n) m.m.c. ( 10,12,45) (R: 180)

o) m.m.c ( 6,8,12,15) (R: 120)

p) m.m.c ( 12,18,36,40) (R: 360)

3) calcule o m.m.c.

a) m.m.c (4,6,9,15) = (R: 180)

b) m.m.c. ( 2,10,15,45) = (R: 90)

c) m.m.c.(8,36,28,72) = (R: 505)

d) m.m.c( 45,96,10,180) = (R: 1440)

e) m.m.c( 20,30,48,120) = (R: 240)

f) m.m.c( 7,2) = (R: 14)

g) m.m.c( 8,10) = (R: 40)

h) m.m.c ( 14,21) = ( R: 42)

i) m.m.c ( 50 ,25) = (R: 50)

j) m.m.c ( 40 , 60 ) = (R: 120)

l) m.m.c.( 80,56) = (R: 560)

m) m.m.c ( 2,3,4) = (R: 12)

n) m.m.c. ( 4,6,8) = (R: 24)

o) m.m.c. ( 6,8,12) = (R: 24)

p) m.m.c.(4,8,16) = (R: 16)

q) m.m.c ( 12, 18, 36) = (R: 36)

r) m. m.c ( 12, 10, 8) = (R: 120)

s) m.m.c ( 6,8,10,12) = (R: 180)

4) Usando a decomposição em fatores primos, determine:

a) m.m.c (10,12) (R:60)

b) m.m.c. ( 6,10,15) (R: 30)

c) m.m.c. ( 14,21,30) (R: 210)

d) m.m.c. ( 100, 150, 200) (R: 600)

e) m.m.c. (70,110) (R: 770)

f) m.m.c. (30, 75) (R:150)

g) m.m.c. (18,60) (R: 180)

h) m.m.c. (21, 35,84) (R: 420)

i) m.m.c. ( 66, 102) (R: 1122) 

j) m.m.c. ( (90, 36, 54) (R: 540)

l) m.m.c. ( 48, 20, 40, 36) (R: 720)

m) m.m.c (12,36) (R:36)

n) m.m.c. ( 20,28) (R: 140)

o) m.m.c. ( 9,10) (R: 90)

p) m.m.c. ( 63,105) (R: 315)

q) m.m.c. (32,48,108) (R: 864)

r) m.m.c. (36,12,18) (R:36)

5) Determine

                                               PROBLEMAS

01) Três navios fazem viagens entre dois portos. O primeiro a cada 4 dias, o segundo a cada 6 dias e o terceiro a cada 9 dias. Se esses navios partirem juntos, depois de quantos dias voltarão a sair juntos, novamente?  

(A) 44.

(B) 20.

(C) 36.

(D) 48.

(E) 70.

02) Em uma casa há quatro lâmpadas, a primeira acende a cada 27 horas, a segunda acende a cada 45 horas, a terceira acende a cada 60 horas e a quarta só acende quando as outras três estão acesas ao mesmo tempo. De quantas em quantas horas a quarta lâmpada vai acender?

(A) 540.

(B) 210.

(C) 360.

(D) 220.

(E) 120.

03) Alguns cometas passam pela terra periodicamente. O cometa A visita a terra de 12 em 12 anos e o B, de 32 em 32 anos. Em 1910, os dois cometas passaram por aqui. Em que ano os dois cometas passarão juntos pelo planeta novamente? 

(A) 2002.

(B) 2003.

(C) 2004.

(D) 2005.

(E)  2006.

04) Em uma arvore de natal, três luzes piscam com freqüência diferentes. A primeira pisca a cada 4 segundos, a segunda a cada 6 segundos e a terceira a cada 10 segundos. Se, num dado instante, as luzes piscam ao mesmo tempo, após quantos segundos voltarão, a piscar juntas?

(A) 44.

(B) 20.

(C) 60.

(D) 80.

(E) 26.

05) Três viajantes partem num mesmo dia de uma cidade A. Cada um desses três viajantes retorna à cidade A exatamente a cada 30, 48 e 72 dias, respectivamente. O número mínimo de dias transcorridos para que os três viajantes estejam juntos novamente na cidade A é:

(A) 144.

(B) 240.

(C) 360.

(D) 480.

(E) 720.