MATRIZES E DETERMINANTES

📌 1. DEFINIÇÃO DE MATRIZ

Matriz é uma tabela organizada em linhas e colunas.

Exemplo:

A =
| 1 2 |
| 3 4 |

👉 Essa matriz é de ordem 2 x 2 (2 linhas e 2 colunas)

📌 2. ELEMENTOS DA MATRIZ

Cada número é um elemento da matriz:

a₁₁ = 1 (linha 1, coluna 1)
a₁₂ = 2
a₂₁ = 3
a₂₂ = 4

📌 3. TIPOS DE MATRIZES

🔹 Matriz linha:
[ 1 2 3 ]

🔹 Matriz coluna:
| 1 |
| 2 |
| 3 |

🔹 Matriz quadrada:
Mesmo número de linhas e colunas

🔹 Matriz identidade:
| 1 0 |
| 0 1 |

🔹 Matriz nula:
Todos os elementos iguais a zero

📌 4. OPERAÇÕES COM MATRIZES

➕ ADIÇÃO

Só é possível entre matrizes de mesma ordem:

A = |1 2|
  |3 4|

B = |5 6|
  |7 8|

A + B = |6 8|
    |10 12|

✖ MULTIPLICAÇÃO POR NÚMERO

Multiplica todos os elementos:

2A = |2 4|
   |6 8|

✖ MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

Só é possível quando:

👉 nº de colunas da 1ª = nº de linhas da 2ª

Exemplo:

A (2x2) × B (2x2)

A = |1 2|
  |3 4|

B = |5 6|
  |7 8|

Resultado:

C = | (1·5 + 2·7) (1·6 + 2·8) |
   | (3·5 + 4·7) (3·6 + 4·8) |

C = |19 22|
   |43 50|

📌 5. DETERMINANTE

🔹 Determinante de matriz 2x2

Se:

A = |a b|
  |c d|

Então:

det(A) = ad - bc

🔹 Exemplo:

A = |1 2|
  |3 4|

det(A) = (1·4) - (2·3)
det(A) = 4 - 6
det(A) = -2

🔹 Determinante 3x3 (Regra de Sarrus)

Exemplo:

|1 2 3|
|4 5 6|
|7 8 9|

Passo: repetir as duas primeiras colunas:

|1 2 3 1 2|
|4 5 6 4 5|
|7 8 9 7 8|

Diagonal principal:
(1·5·9) + (2·6·7) + (3·4·8)

Diagonal secundária:
(3·5·7) + (1·6·8) + (2·4·9)

det = soma principal - soma secundária

🧠 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

✅ 1. Soma de matrizes

A = |2 1|
  |3 0|

B = |1 4|
  |2 5|

A + B = |3 5|
    |5 5|

✅ 2. Multiplicação por número

A = |1 2|
  |3 4|

3A = |3 6|
   |9 12|

✅ 3. Multiplicação de matrizes

A = |1 0|
  |2 1|

B = |3 4|
  |5 6|

C = |3 4|
   |11 14|

✅ 4. Determinante 2x2

|2 3|
|1 4|

det = (2·4) - (3·1)
det = 8 - 3
det = 5

✅ 5. Determinante 3x3

|1 0 2|
|3 1 4|
|5 2 0|

Aplicando Sarrus:

det = -4

📝 LISTA DE EXERCÍCIOS

🔹 Nível básico

1. Identifique a ordem:
   |1 2 3|
   |4 5 6|
2. Some:
   |1 2| + |3 4|
3. Multiplique:
   2 × |2 3|
4. Classifique matriz identidade
5. Identifique matriz nula

🔹 Nível intermediário

6. Multiplique:
   |1 2| × |3 4|
7. Calcule det:
   |2 1|
   |3 4|
8. Multiplique:
   |0 1|
   |2 3| × |1 2|
         |3 4|
9. Calcule det:
   |5 2|
   |1 3|
10. Identifique elementos a₁₂

🔹 Nível avançado

11. Multiplique:
    |1 2| × |0 1|
12. Calcule det 3x3:
    |1 2 3|
    |0 1 4|
    |5 6 0|
13. Resolva: det = 0 → o que significa?
14. Multiplique:
    |2 0|
    |1 3| × |4 1|
          |2 2|
15. Classifique matriz quadrada

✅ GABARITO

1. 2x3
2. |4 6|
3. |4 6|
4. diagonal principal = 1
5. todos zeros
6. resultado = |11| (depende montagem → professor pode ajustar)
7. 5
8. |3 4|
     |11 14|
9. 13
10. elemento linha 1 coluna 2
11. |2 1|
12. 1
13. matriz não invertível
14. |8 2|
      |10 7|
15. mesma quantidade de linhas e colunas